Stimmt etwas mit dieser modifizierten Einstein-Hilbert-Aktion erster Ordnung nicht?

Die Einstein-Hilbert-Aktion:

$$S_{EH}=\frac{1}{2\kappa}\int \sqrt{-g}g^{ab} \left({\Gamma^c}_{ab,c} - {\Gamma^c}_{ac,b} + {\Gamma^d}_{ab}{\Gamma^c}_{cd} - {\Gamma^d}_{ac}{\Gamma^c}_{bd}\right) d^4x$$

Enthält zweite Ableitungen von$g$da die Christoffel-Symbole Ableitungen von enthalten$g$aber durch partielle Integration kann es in eine Form mit nur ersten Ableitungen des metrischen Tensors gebracht werden:

$$S_{EH'}=\frac{1}{2\kappa}\int \left( -{\Gamma^c}_{ab}\partial_c(\sqrt{-g}g^{ab}) + {\Gamma^c}_{ac}\partial_b(\sqrt{-g}g^{ab}) + \sqrt{-g}g^{ab}\left({\Gamma^d}_{ab}{\Gamma^c}_{cd} - {\Gamma^d}_{ac}{\Gamma^c}_{bd}\right) \right)d^4x.$$

Ist das gleichwertig? Ich lese manchmal von „Oberflächenbegriffen“, bin mir aber nicht sicher, was das bedeutet.

Wenn Sie es ausarbeiten, ist es:

$$S_{EH'}=\frac{1}{8\kappa}\int \sqrt{-g}\left( g^{ab}g^{de}g^{cf} +2 g^{ac}g^{bf}g^{de} +3 g^{ad}g^{be}g^{cf} -6 g^{ad}g^{bf}g^{ce} \right)\partial_c g_{ab}\partial_f g_{de} dx^4$$ (Obwohl ich vielleicht einige der Konstanten falsch verstanden habe). Ich mag diese Form, weil sie der Maxwell-Aktion ähnlich ist: $$S_M = \frac{1}{2}\int\sqrt{-g}(g^{ac}g^{bd}-g^{ad}g^{bc})\partial_a A_b \partial_c A_d dx^4$$