Notwendigkeit des Grenzbegriffs Gibbons-Hawking-York (GHY).

Der grundlegende Punkt meiner Frage ist, ob der GHY-Grenzterm in der Allgemeinen Relativitätstheorie überhaupt notwendig ist, und wenn ja, warum ist er so und welche physikalische Bedeutung hat er ?

Mehrere Punkte:

• Trotz des Auftretens eines Integrals ist das Variationsprinzip ein lokales. Annehmen, dass$\mathcal{D}$ist ein regulärer Bereich der Raumzeit, und im Aktionsintegral integrieren wir über$\mathcal{D}$. Üblicherweise wird darauf hingewiesen, dass wir die Abweichungen verlangen können$\delta g^{\mu\nu}$draußen verschwinden$\mathcal{D}$, aber wir können nicht machen$\nabla_\sigma\delta g^{\mu\nu}$verschwinden. wie auch immer, falls$\delta g^{\mu\nu}$verschwindet identisch nach außen$\mathcal{D}$, dann verschwinden auch seine Ableitungen, außer vielleicht speziell an der Grenze. Aber dann verlängern wir$\mathcal{D}$zu (symbolisch) "$\mathcal{D}+\epsilon$", dann verschwinden jetzt auch die Ableitungen an der Grenze. Ist an dieser Argumentation etwas falsch?

• Gibt es physikalische Anwendungen des GHY-Grenzterms? Das einzige, was ich weiß, ist, dass die Israel-Knotenbedingungen aus dem Variationsprinzip abgeleitet werden können, aber diese Ableitung verwendet den Grenzterm (siehe zum Beispiel https://arxiv.org/abs/gr-qc/0108048 und https:// arxiv.org/abs/1206.1258 ). Die Knotenbedingungen können jedoch auch ohne diese erhalten werden (z. B. unter Verwendung eines Quellterms einer Delta-Funktion).

• Die Einsteinschen Feldgleichungen lassen sich auch aus dem Palatini-Formalismus gewinnen, allerdings gilt dann$g^{\mu\nu}$und$\Gamma^\sigma_{\mu\nu}$sind separate Konfigurationsvariablen, als solche das Verschwinden von beiden$\delta g$und$\delta\Gamma$kann an der Grenze vorgeschrieben werden. Aber dann gibt es keinen Grenzterm, um die Aktion anzuhängen.

Ist in Anbetracht dieser Punkte der GHY-Begriff notwendig? Wenn ja, hat es dann eine physikalische Bedeutung? Warum verlangt es der Palatini-Formalismus dann nicht ?

Wenn nicht, warum sollte man sich dann überhaupt damit beschäftigen?