Erste Fundamentalform im Gibbons-Hawking-York-Grenzterm

Ich bekam die Antwort, als ich ein Buch von E. Poisson las, was ich tat, war in der Tat falsch, Sie müssen mit der induzierten Metrik beginnen, die durch gegeben ist

$$h_{ab}= g_{\mu\nu}e^{\mu}_a e^{\nu}_b$$ Wo $$e^{\mu}_a=\frac{\partial x^{\mu}}{\partial y^a}$$ sind die Tangentenvektoren an Kurven der Hyperfläche. Dann ersetzen Sie einfach $g$von $h$im gewohnten Verhältnis $$\delta\sqrt{\left|h\right|} = -\frac12 \sqrt{\left|h\right|} h_{ab} \delta h^{ab}.$$ Unter Verwendung der Kronecker-Invarianz findet man

$$\delta\sqrt{\left|h\right|} = \frac12 \sqrt{\left|h\right|} h^{ab} \delta h_{ab}.$$

Dann mit der Tatsache, dass

$$\delta h_{ab} =\delta g_{\mu\nu}e^\mu_a e^\nu_b$$ da die Tangentenvektoren unveränderlich sind, erhalten wir schließlich $$\delta\sqrt{\left|h\right|} = \frac12 \sqrt{\left|h\right|} h^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}$$ wobei wir die Definition des PROJEKTORS verwendet haben $$h^{\mu\nu} = h^{ab}e^\mu_a e^\nu_b.$$ Und hier kam das Problem, $h^{\mu\nu}$ist NICHT die induzierte Metrik, sondern ein Projektor, der dieser induzierten Metrik zugeordnet ist.

Soweit ich weiß, werden diese beiden Ausdrücke synonym verwendet.

und deine Koordinaten$h_{\mu \nu}=g_{\mu \nu}-\sigma n_{\mu}n_{\nu}$arent Gaußsche Koordinaten im Allgemeinen.

Gaussian sind zum Beispiel flrw-Metriken wie$ds^2=-dt^2+h_{ij}(t)dx^idx^j$mit raumhaft $i,j$wobei es im zweiten Teil des Linienelements keinen gemischten Zeit-/Raum-Basisterm gibt, sondern nur einen von abhängigen Skalierungsfaktor$t$