Warum ist es so zufällig, dass die Palatini-Variation der Einstein-Hilbert-Wirkung eine Gleichung erhält, dass die Verbindung die Levi-Civita-Verbindung ist?

I) In Palatini $f(R)$ Schwerkraft ist die Lagrange-Dichte$^1$

$${\cal L}(g,\Gamma)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-g} f(R) + {\cal L}_{\rm m}; \tag{1}$$

mit materieller Lagrange-Dichte${\cal L}_{\rm m}$; mit Skalarkrümmung

$$R~:=~ g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}(\Gamma);\tag{2}$$

mit Ricci-Krümmung $R_{\mu\nu}(\Gamma)$; und wo

$$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}~=~\Gamma^{\lambda}_{\nu\mu}\tag{3}$$

ist beliebig torsionsfrei$^2$Verbindung.

II) Wie OP erwähnt, bezieht sich das Wort Palatini auf die Metrik$g_{\mu\nu}$und die Verbindung$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$sind unabhängige Variablen$^3$. Wir erhalten daher zwei Arten von EL-Gleichungen :

1. Die EL-Gleichungen

   $$f^{\prime}(R)R_{\mu\nu} -\frac{1}{2}f(R)g_{\mu\nu}~\stackrel{(1)+(5)}{\approx}~\kappa T_{\mu\nu} \tag{4}$$ für die Metrik$g_{\mu\nu}$sind die Verallgemeinerung von EFE , wobei $$T^{\mu\nu}~:=~\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_{\rm m}}{\delta g_{\mu\nu}} \tag{5}$$ ist der Materie-Hilbert -Spannungs-Energie-Impuls (SEM)-Tensor . [In Gl. (4) die$\approx$Symbol bedeutet Gleichheit modulo Bewegungsgleichungen. In dieser Antwort verwenden wir$(-,+,\ldots,+)$Minkowski unterzeichnet Konvention$d$Raumzeitdimensionen.]

2. Wenn die Angelegenheit Aktion$S_{\rm m}$hängt nicht von der Verbindung ab$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$, dann die EL-Gleichungen

   $$\nabla_{\lambda}\hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~\stackrel{(1)}{\approx}~0,\qquad \hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~:=~\sqrt{-g} f^{\prime}(R) g^{\mu\nu} ~\stackrel{(8)}{=}~\sqrt{-\hat{g}} \hat{g}^{\mu\nu}, \tag{6}$$ für die Verbindung$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$erweisen sich als metrische Kompatibilitätsbedingung $$\nabla_{\lambda}\hat{g}_{\mu\nu} ~\stackrel{(6)+(8)}{\approx}~0\tag{7}$$ für eine konform äquivalente Metrik $$\hat{g}_{\mu\nu}~:=~f^{\prime}(R)^{\frac{2}{d-2}} g_{\mu\nu}, \tag{8}$$ bekannt als Einstein-Frame-Metrik . Mit anderen Worten, die klassische Lösung für$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$ist die Levi-Civita-Verbindung für die Einstein-Rahmenmetrik$\hat{g}_{\mu\nu}$.

III) Also Einstein Gravitation (GR) mit einer möglichen kosmologischen Konstante

$$f(R)~=~R-2\Lambda,\tag{9}$$

oder gleichwertig

$$f^{\prime}(R)~=~1,\tag{10}$$

entspricht dem Spezialfall, wo die beiden Metriken$g_{\mu\nu}$und$\hat{g}_{\mu\nu}$zusammenfallen, und daher$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$wird die Levi-Civita-Verbindung für$g_{\mu\nu}$.

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$^1$Es liegt nahe, die Lagrange-Dichte (1) durch die erweiterte Lagrange-Dichte zu ersetzen

$$\tilde{\cal L}(g,\Gamma,\Phi)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-g}\{\Phi R-V(\Phi)\} + {\cal L}_{\rm m}; \tag{11}$$

mit skalarem Hilfsdilatonenfeld$\Phi$; und wo das Potenzial

$$V(\Phi)~:=~\sup_r(\Phi r -f(r))\tag{12}$$

ist die Legendre-Transformation der Funktion$f$. Integrieren wir das skalare Hilfsfeld heraus$\Phi$, kehren wir dann zu den zurück$f(R)$Lagrange-Dichte (1), von der wir ausgegangen sind! Die EL-Gleichungen

$$\nabla_{\lambda}\hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~\stackrel{(1)}{\approx}~0,\qquad \hat{\mathfrak{g}}^{\mu\nu} ~:=~\sqrt{-g} \Phi g^{\mu\nu} ~\stackrel{(14)}{=}~\sqrt{-\hat{g}} \hat{g}^{\mu\nu}, \tag{13}$$

für die Verbindung$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$werden die metrische Kompatibilitätsbedingung (7) für die Einstein-Frame-Metrik

$$\hat{g}_{\mu\nu}~:=~\Phi^{\frac{2}{d-2}} g_{\mu\nu}. \tag{14}$$

Nach der Verbindung$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$herausintegriert wurde, wird die Lagrange-Dichte (11).

$$\tilde{\cal L}(g,\Phi)~=~ \frac{1}{2\kappa}\sqrt{-\hat{g}}\{R(\hat{g})-\Phi^{\frac{d}{2-d}}V(\Phi)\} + {\cal L}_{\rm m} , \tag{15}$$

wo Gl. (14) wird implizit angenommen.

Allerdings leider die Legendre verwandeln$V$existiert nicht für die Einstein-Schwerkraft (9), daher werden wir die erweiterte Lagrange-Dichte (11) in dieser Antwort nicht weiter berücksichtigen.

$^2$Man könnte ein nicht-dynamisches Torsionsstück zulassen, aber wir werden dies hier der Einfachheit halber nicht weiter verfolgen. Mehr zur Torsion siehe zB auch diesen Phys.SE Beitrag.

$^3$Normalerweise integrieren wir in Nicht-Palatini-Formulierungen die Verbindung heraus$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$und halten Sie die Metrik$g_{\mu\nu}$. Eddington & Schrödinger schlugen das Gegenteil vor ! Lassen Sie uns diese Möglichkeit hier analysieren. Definieren Sie zur späteren Bequemlichkeit eine Doppelindex-Notation$M=\mu\mu^{\prime}$und die folgende Kurzschreibweise

$$\frac{f(R)}{2f^{\prime}(R)}~=:~\hat{f}(R) ~\equiv~ \hat{f}_0+\hat{f}_1R +\hat{f}_2(R).\tag{16}$$

Betrachten wir nur das Vakuum

$$T_{\mu\nu}~=~0.\tag{17}$$

von jetzt an. Wir haben dann

$$g^M~\stackrel{(4)+(16)+(17)}{\approx}~\hat{f}(R)R^M,\tag{18}$$

wo$R^M$ist der inverse Ricci-Tensor. Entsprechend haben wir

$$\left(\delta^M_N - \hat{f}_1 R^M R_N\right) g^N~\stackrel{(16)+(18)}{\approx}~\left(\hat{f}_0+f_2(R) \right)R^M.\tag{19}$$

Wir erhalten also eine Fixpunktgleichung für die inverse Metrik

$$g^N~\stackrel{(19)}{\approx}~\left(\delta^N_M +\frac{\hat{f}_1}{1-d\hat{f}_1} R^N R_M\right)\left(\hat{f}_0+\hat{f}_2(R) \right)R^M$$ $$~=~ \frac{1}{1-d\hat{f}_1}\left(\hat{f}_0+\hat{f}_2\left(g^MR_M\right) \right)R^N.\tag{20}$$

Spezialisieren wir uns auf die Einstein-Schwerkraft (9). Dann

$$\hat{f}_0~=~-\Lambda;\qquad\hat{f}_1~=~\frac{1}{2};\qquad\hat{f}_2(R)~=~0.\tag{21}$$

Die inverse Metrik wird

$$g^N~\stackrel{(20)+(21)}{\approx}~\frac{2\Lambda}{d-2}R^N.\tag{22}$$

Und daher

$$R~\stackrel{(22)}{\approx}~\frac{2d}{d-2}\Lambda,\tag{23}$$

und

$$g_{\mu\nu}~\stackrel{(2)+(22)}{\approx}~\frac{d-2}{2\Lambda}R_{\mu\nu}(\Gamma).\tag{24}$$

Die EH-Lagrange-Dichte wird also Born-Infeld- ähnlich:

$${\cal L}(\Gamma)~\stackrel{(1)+(17)+(23)+(24)}{\approx}~\frac{1}{\kappa}\left(\frac{d-2}{2\Lambda}\right)^{\frac{d}{2}-1}\sqrt{-\det(R_{\mu\nu}(\Gamma))}.\tag{25}$$

Beachten Sie, dass die Eddington-Schrödinger-Aktion (25) nur für eine kosmologische Konstante ungleich Null funktioniert $\Lambda\neq 0$.