Die Anwendung der Cartan-Strukturgleichungen scheint zu implizieren, dass die Einstein-Palatini-Wirkung null ist?

Question

Die Anwendung der Cartan-Strukturgleichungen scheint zu implizieren, dass die Einstein-Palatini-Wirkung null ist?

JeffK

Die Einstein-Palatini-Aktion kann geschrieben werden als

S = M_{P l}^{2} \int ε_{A B C D} (e^{A} \land e^{B} \land R^{C D}),

$S = M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(e^a\wedge e^b\wedge R^{cd}\right),$ Wo

e^{a} = {e^{a}}_{μ} {dx}^{μ}

$e^a={e^a}_\mu\text{dx}^\mu$ ist die Basis Einform und

R^{a b} = \frac{1}{2} {R^{a b}}_{μ ν} {dx}^{μ} \land {dx}^{ν}

$R^{ab}=\frac{1}{2}{R^{ab}}_{\mu\nu}\text{dx}^\mu\wedge\text{dx}^\nu$ ist die Zweiform der Riemann-Krümmung. Die Cartan-Strukturgleichungen für die torsionsfreie und metrisch-kompatible Verbindung von GR sind

R^{A B} = D ω^{A B} = D ω^{A B} + {ω^{A}}_{C} ω^{B C}, 0 = D e^{A} = D e^{A} + {ω^{A}}_{B} e^{B},

$R^{ab} = D\omega^{ab} = d\omega^{ab} + {\omega^a}_c \omega^{bc}, \quad 0 = De^a = de^a + {\omega^a}_be^b,$ Wo

ω^{a b} = {ω^{a b}}_{μ} {dx}^{μ}

$\omega^{ab}={\omega^{ab}}_\mu\text{dx}^\mu$ ist die (antisymmetrische) Spinverbindungs-Einform.

Nun, meine Verwirrung kommt von der Tatsache, dass, wenn ich die erste Strukturgleichung anwende, nach Teilen integriere (unter Vernachlässigung von Randbedingungen) und die zweite Strukturgleichung anwende, die gesamte Aktion zu verschwinden scheint.

\begin{aligned} S & = M_{P l}^{2} \int ε_{A B C D} (e^{A} \land e^{B} \land D ω^{C D}) \\ = M_{P l}^{2} \int ε_{A B C D} (- D (e^{A} \land e^{B}) \land ω^{C D}) \\ = M_{P l}^{2} \int ε_{A B C D} (- D e^{A} \land e^{B} \land ω^{C D} + e^{A} \land D e^{B} \land ω^{C D}) \\ = M_{P l}^{2} \int ε_{A B C D} (0 + 0) = 0 \end{aligned}

$\begin{align} S &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(e^a\wedge e^b\wedge D\omega^{cd}\right) \\ &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(-D(e^a\wedge e^b)\wedge\omega^{cd}\right) \\ &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(-De^a\wedge e^b\wedge\omega^{cd} + e^a\wedge De^b\wedge\omega^{cd}\right) \\ &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(0+0\right)=0 \end{align}$

Das scheint offensichtlich nicht korrekt zu sein, also habe ich irgendwo einen Fehler in meinem Verständnis? Ist es falsch, die Strukturgleichungen zu verwenden und auf diese Weise partiell in die Handlung zu integrieren?

Sunak Sinha

Sie sind davon ausgegangen, dass die Verbindung mit der Tetrade kompatibel ist.

JeffK

@SounakSinha ja habe ich, aber ist das in GR nicht der Fall?

Sunak Sinha

In der Palatini-Aktionstetrade ist Kompatibilität keine On-Shell-Anweisung.

JeffK

Ok, danke @SounakSinha. Wenn die Strukturgleichungen auf der Schale nicht wahr sind, wie sind sie dann in diesem Zusammenhang zu verstehen? Empfehlenswerte Referenzen sind natürlich ebenfalls willkommen.

Sunak Sinha

Versuchen Sie es mit dem Wikipedia- Artikel.

JeffK

@SounakSinha Offensichtlich ist das der erste Ort, an dem ich gesucht habe, und er beantwortet meine Frage nicht, aber trotzdem danke.

Antworten (3)

Die Anwendung der Cartan-Strukturgleichungen scheint zu implizieren, dass die Einstein-Palatini-Wirkung null ist?

Sie sind davon ausgegangen, dass die Verbindung mit der Tetrade kompatibel ist.
@SounakSinha ja habe ich, aber ist das in GR nicht der Fall?
In der Palatini-Aktionstetrade ist Kompatibilität keine On-Shell-Anweisung.
Ok, danke @SounakSinha. Wenn die Strukturgleichungen auf der Schale nicht wahr sind, wie sind sie dann in diesem Zusammenhang zu verstehen? Empfehlenswerte Referenzen sind natürlich ebenfalls willkommen.
@SounakSinha Offensichtlich ist das der erste Ort, an dem ich gesucht habe, und er beantwortet meine Frage nicht, aber trotzdem danke.

JeffK · Answer 1

Ich habe eine zuverlässige Quelle gefunden, die meine Frage beantwortet (Anhang 4.1 - M. Gasperini, Theory of Gravitational Interactions; DOI 10.1007/978-88-470-2691-9), daher werde ich die Auflösung meiner Verwirrung hier der Nachwelt zuliebe präsentieren. Das Problem ist nicht die Verwendung der Strukturgleichungen auf der Schale (tatsächlich ist dies eine rein klassische Theorie), und meine Berechnung enthält keinen Fehler. Das Problem ist, dass die Palatini-Aktion mit einer Torsion ungleich Null definiert ist und nur GR entspricht, nachdem die Grenze der verschwindenden Torsion nach der Berechnung der Bewegungsgleichungen genommen wurde.

Der Palatini-Formalismus erfordert, dass wir die Strukturgleichung verwenden

T^{A} = D e^{A} = D e^{A} + {ω^{A}}_{B} e^{B},

$T^a = De^a = de^a + {\omega^a}_be^b ,$ Wo

T^{a} = \frac{1}{2} {T^{a}}_{μ ν} {dx}^{μ} \land {dx}^{ν} \neq 0

$T^a = \frac{1}{2}{T^a}_{\mu\nu}\text{dx}^\mu\wedge\text{dx}^\nu \neq 0$ ist die Torsionszweiform. Man kann dann integrieren, um Teile zu finden

\begin{aligned} S & = M_{P l}^{2} \int ε_{A B C D} (e^{A} \land e^{B} \land D ω^{C D}) \\ = M_{P l}^{2} \int ε_{A B C D} (- T^{A} \land e^{B} \land ω^{C D} + e^{A} \land T^{B} \land ω^{C D}) \neq 0, \end{aligned}

$\begin{align} S &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(e^a\wedge e^b\wedge D\omega^{cd}\right) \\ &= M_{pl}^2\int\varepsilon_{abcd}\left(-T^a\wedge e^b\wedge\omega^{cd} + e^a\wedge T^b\wedge\omega^{cd}\right) \neq 0 , \end{align}$ das ist eine vollkommen gültige Version der Palatini-Aktion.

Um mit GR in Berührung zu kommen (hier der Einfachheit halber ohne materielle Quellen), müssen wir die Aktion in Bezug auf die beiden unabhängigen Felder in unserer Theorie variieren, $e^a$ Und $\omega^{ab}$ , was die folgenden EOMs ergibt.

δ_{e} S = ε_{A B C D} R^{A B} \land e^{C} = 0, δ_{ω} S = ε_{A B C D} T^{A} \land e^{B} = 0

$\delta_e S = \varepsilon_{abcd}R^{ab}\wedge e^c = 0 , \quad \delta_\omega S = \varepsilon_{abcd}T^a\wedge e^b = 0$ Dies sind die "Einstein-Cartan"-Gleichungen, und nach der Rückumwandlung in die Tensorkomponentennotation ist leicht zu erkennen, dass die erste genau die Einstein-Gleichungen von GR liefert, während die zweite eine EOM für die Torsion liefert, was natürlich trivial ist, nachdem man die genommen hat Grenze

T^{a} \to 0

$T^a \rightarrow 0$ .

Kurz gesagt, der Palatini-Formalismus reproduziert GR nicht, wenn wir ihn einfach festlegen $T^a=0$ auf der Ebene der Handlung. Die beiden Theorien stimmen nur überein, wenn wir die Grenze der verschwindenden Torsion auf der Ebene der EOMs nehmen.

Verrückter Max · Answer 2

Dieser Teil von Ihnen ist falsch:

\begin{aligned} S & \sim \int ε_{A B C D} (e^{A} \land e^{B} \land D ω^{C D}) \\ = \int ε_{A B C D} (- D e^{A} \land e^{B} \land ω^{C D} + e^{A} \land D e^{B} \land ω^{C D}) \end{aligned}

$\begin{align} S &\sim \int\varepsilon_{abcd}\left(e^a\wedge e^b\wedge D\omega^{cd}\right) \\ &= \int\varepsilon_{abcd}\left(-De^a\wedge e^b\wedge\omega^{cd} + e^a\wedge De^b\wedge\omega^{cd}\right) \end{align}$ Die korrekte Ableitung lautet:

\begin{aligned} S & \sim \int ε_{A B C D} (e^{A} \land e^{B} \land D ω^{C D}) \\ = \int ε_{A B C D} (- (D e^{A} + \frac{1}{2} {ω^{A}}_{k} \land e^{k}) \land e^{B} \land ω^{C D} + e^{A} \land (D e^{B} + \frac{1}{2} {ω^{B}}_{k} \land e^{k}) \land ω^{C D}) \end{aligned}

$\begin{align} S &\sim \int\varepsilon_{abcd}\left(e^a\wedge e^b\wedge D\omega^{cd}\right) \\ &= \int\varepsilon_{abcd}\left(-(de^a + \frac{1}{2} {\omega^a}_k\wedge e^k)\wedge e^b\wedge\omega^{cd} + e^a\wedge (de^b+ \frac{1}{2} {\omega^b}_k\wedge e^k)\wedge\omega^{cd}\right) \\ \end{align}$ Offensichtlich:

D e^{A} + \frac{1}{2} {ω^{A}}_{k} \land e^{k} \neq D e^{A} = D e^{A} + {ω^{A}}_{k} \land e^{k}

$de^a + \frac{1}{2} {\omega^a}_k\wedge e^k \neq De^a= de^a + {\omega^a}_k\wedge e^k$

Hinweis nach Diskussion mit @JeffK (der Person, die die Frage ursprünglich gestellt hat) hinzugefügt, da @JeffK sich entschieden hat, an der falschen Berechnung festzuhalten.

Gleitende kovariante Ableitung $D$ zwischen $\omega$ Und $e$ ist ein bisschen schwierig, wegen der einzigartigen Definition von $D\omega$ .

Man kann zur Einstein-Wirkung gelangen, indem man die Nulltorsionsbedingung anwendet

0 = D e^{A} = D e^{A} + {ω^{A}}_{B} e^{B}

$0 = De^a = de^a + {\omega^a}_be^b$ zur Einstein-Palatini-Aktion, über das Ausdrücken

ω

$\omega$ als Funktion von

e

$e$ , wodurch die explizite Abhängigkeit der Einstein-Aktion effektiv eliminiert wird

ω

$\omega$ .

Die Einstein-Wirkung ist offenbar nicht Null. Ich hoffe, @JeffK kann das Licht sehen und würde ähnliche Fehler in zukünftigen Studien/Forschungen vermeiden.

Danke für die Antwort @MadMax. Können Sie erklären, woher der Faktor 1/2 kommt?
@JeffK, in Kurzschreibweise musst du umschreiben $\omega^2 = \frac{1}{2}\omega^2 + \frac{1}{2}\omega^2$ vor dem Umzug $\omega$ herum, um zwei zusammenzubringen $de$ . Auf der anderen Seite, wenn Sie Variationen machen $\omega$ Bewegungsgleichung wo zu bekommen $De$ natürlich erscheint, du hast das nicht $\frac{1}{2}$ Problem, da $\delta \omega^2 = \omega\delta\omega + \delta\omega \omega$ .
@JeffK, deine Selbstantwort ist auch falsch ( $S = 0$ in der Grenze $T\rightarrow0$ ), gilt der Begriff der Aktion als Null auf der Schale (unter Verwendung der Bewegungsgleichung) nur für bestimmte Aktionen. Zum Beispiel ist die Dirac-Aktion auf der Schale Null, da alle Terme in der Dirac-Aktion linear sind $\psi$ (oder $\bar\psi$ ). Aber die Einstein-Palatini-Aktion ist nicht null auf der Schale, da $R$ enthält beides $\omega$ Und $\omega^2$ Bedingungen.
In Bezug auf Ihren ersten Kommentar findet hier kein "Umherbewegen" von ω statt. Es gibt eine partielle Integration zwischen den ersten beiden Zeilen in meiner ursprünglichen Frage, wo ich die kovariante Ableitung von ω nach verschoben habe $e \wedge e2$ (und ließ den Grenzterm fallen). Für Ihren zweiten Kommentar ist dies der springende Punkt! Wenn Sie vor der Berechnung der EOMs die Nulltorsionsgrenze nehmen, erhalten Sie eine Nullaktion (wie Sie es bei jeder Theorie tun würden, wenn Sie alle Felder integrieren). Man muss den Torsion-General in der Palatini-Aktion behalten und dann, wenn Sie möchten, die Torsion am Ende entfernen, um GR zu finden.
"Ich habe die kovariante Ableitung verschoben", falsch, Sie können die kovariante Ableitung nicht verschieben $D\omega$ Zu $De$ , wie ich bereits erklärt habe. Die partielle Integration funktioniert nur für $d$ , nicht für $D$ . Du musst dich bewegen $\omega$ richtig herum.
Das ist nicht korrekt - die partielle Integration sollte immer mit der kovarianten Ableitung durchgeführt werden. Dies wird beispielsweise daran deutlich, dass die Tensordichte $\varepsilon_{abcd}$ pendelt nur mit $D$ dh $D\varepsilon_{abcd}=0$ (siehe Abschnitt 2 des Anhangs, auf den ich verwiesen habe). Hier ist eine weitere Quelle, in der die Integration nach Teilen auf die gleiche Weise verwendet wird, wie ich es 2009.11739v1 mache (zwischen den Gleichungen 3.6 und 3.8).
Die Überweisung von $De\chi$ Zu $eD\chi$ (zwischen den Gleichungen 3.6 und 3.8 im Papier 2009.11739v1) funktioniert nur, wenn $D\chi$ ist definiert als $D\chi^{ab} = d\chi^{ab} + 2{\omega^a}_c \wedge \chi^{bc}$ (siehe Gl. A.39 in M. Gasperini, Theory of Gravitational Interactions). Beachten Sie, dass es eine gibt $2$ Faktor, anders als $D\omega = d\omega + \omega^2$ .
$D\chi$ wird in dieser Arbeit nicht mit dem Faktor 2 definiert und schon gar nicht unterschiedlich für verschiedene Einsformen desselben Indexzeichens definiert. Die kovariante Ableitung in Bezug auf die Spin (Lorentz)-Verbindung einer beliebigen Form $\alpha^{ab}$ ist immer $D\alpha^{ab} = d\alpha^{ab} +{\omega^a}_c\alpha^{bc}$ . Wenn Sie eine Konvention mit 1/2 wählen möchten, ist das in Ordnung, aber Sie müssen konsequent sein. Bitte zögern Sie nicht, dem zu widersprechen, aber in diesem Fall bitte ich um eine Quelle (da A.39 eine Ableitung der Metrik und keine Eins-Form ist) und schlage vor, dass wir für weitere Diskussionen in einen Chat übergehen.
Siehe Gl. A.38 (A.39 war ein Tippfehler) in M. Gasperini, Theory of Gravitational Interactions. Ich höre hier auf, es wird langsam langweilig, viel Glück beim Auffrischen der Differenzialrechnung.

Stückelberator · Answer 3

Diese ganze Diskussion dreht sich um ein weit verbreitetes Missverständnis aufgrund der Tatsache, dass einige Autoren (aus mir unbekannten Gründen) gerne abkürzen $d\omega^{ab}+\omega^a{}_c\wedge \omega^{cb}$ als $D\omega^{ab}$ . Solange man versteht, dass dies nur eine Notation ist , ist alles in Ordnung. Aber dann lesen die Leute dies und nehmen an, dass dies tatsächlich eine externe kovariante Ableitung ist. Es ist klar, dass äußere kovariante Ableitungen NICHT auf Verbindungs-1-Formen wirken, sondern nur auf Formen, deren Komponenten Tensoren eines bestimmten Ranges sind, genauso wie gewöhnliche kovariante Ableitungen NICHT auf Verbindungssymbole wirken, wie die Christoffel-Symbole. Richtig ist natürlich $\delta R^{ab}=D\delta\omega^{ab}$ denn die Differenz der Verbindung 1-Formen transformiert sich tatsächlich ins Adjoint. Außerdem sollte im Formalismus der Differentialformen die partielle Integration immer mit der äußeren Ableitung durchgeführt werden $d$ und nicht die kovariante, genau wie es das verallgemeinerte Stokes-Theorem vorschreibt.

Die Anwendung der Cartan-Strukturgleichungen scheint zu implizieren, dass die Einstein-Palatini-Wirkung null ist?

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