Gibt es einen "geometrischen" Grund für das Prinzip der stationären Wirkung?

Ich glaube nicht, dass die Einstellung des Konfigurationsraums von Bedeutung ist. In diesem Sinne werde ich sagen, dass es keinen geometrischen Grund gibt.

Der Schlüssel zu Hamiltons stationärer Aktion ist jedoch eine Eigenschaft, die sich sehr gut für eine visuelle/geometrische Demonstration eignet.

Ich werde demonstrieren, dass Hamiltons stationäre Aktion von der folgenden Integrationseigenschaft profitiert: Nehmen Sie eine Kurve und das Integral dieser Kurve: Wenn Sie die Steigung der Kurve verdoppeln, verdoppelt sich auch der Wert des Integrals. Allgemeiner gesagt ist die Änderungsrate des Werts eines Integrals gleich der Änderungsrate der Steigung der Kurve . (Diese Eigenschaft ist natürlich offensichtlich, ich erwähne sie ausdrücklich, weil es nicht offensichtlich ist, wie sie sich in Hamiltons stationärer Aktion auswirkt.)

Der Vermittler zwischen Newtons zweitem Gesetz und Hamiltons stationärer Wirkung ist das Arbeits-Energie-Theorem.

Einige Anmerkungen, um Missverständnisse zu vermeiden:

• Wenn die Kraft eine konservative Kraft ist, sind Arbeitsfähigkeit und potentielle Energie gleich. Ab hier beziehe ich mich nur noch auf „kinetische Energie“ und „potentielle Energie“.

• Die Bewegungstheorie wird in Form von Differentialgleichungen formuliert, wenn ich mich also auf den Arbeits-Energie-Satz beziehe, sollte er als der Arbeits-Energie-Satz in Differentialform verstanden werden.

$$\frac{d(E_k)}{dt} = \frac{d(-E_p)}{dt}$$

Die Animation unten besteht aus 7 Einzelbildern, die jeweils drei Sekunden lang angezeigt werden. Die 7 Frames sind aufeinanderfolgende Screenshots eines interaktiven Diagramms.

Der im Diagramm dargestellte Fall ist eine gleichmäßig nach unten gerichtete Kraft.

Ich habe folgende Bedingungen gewählt:
Gesamtdauer: 2 Sekunden (von t=-1 bis t=1)
Erdbeschleunigung: 2$m/s^2$
Masse des Objekts: 1 Masseneinheit.

Mit$h(t)$für die Höhe als Funktion der Zeit:

$$h(t) = -(t + 1)(t - 1) = -t^2 + 1$$

Die schwarze Linie repräsentiert die Flugbahn des Objekts.

Die Variation wurde wie folgt implementiert:

$$h(t,p_v) = (1 + p_v)(-t^2 + 1)$$

Das heißt, die Versuchsbahn wird als Funktion von zwei Variablen ausgedrückt: der Zeit und dem Variationsparameter$p_v$

Im Diagramm ist der Wert im Schieberegler unten der Variationsparameter$p_v$

Im oberen linken Quadranten des Diagramms repräsentiert die schwarze Linie die Versuchsbahn.

Im oberen rechten Quadranten:
Roter Graph: kinetische Energie
Grüner Graph: minus potenzielle Energie
Die horizontale Achse ist „Zeit“; die Graphen repräsentieren Funktionen der Zeit.

Für das rote Diagramm und das grüne Diagramm repräsentiert die Steigung des Diagramms die zeitliche Ableitung der Energie.

Wenn die Steigungen der roten und grünen Graphen die ganze Zeit über parallel sind , stimmt die Versuchsbahn mit der wahren Bahn überein.

Im unteren linken Quadranten:
Die Steigungen der jeweiligen Graphen ändern sich nicht gleich schnell. Für Werte des Variationsparameters bis Null ändert sich der grüne Graph schneller, und für Werte des Variationsparameters größer als Null ändert sich der rote Graph schneller.

Das Diagramm im unteren rechten Quadranten sticht hervor. In den anderen drei Quadranten repräsentiert die horizontale Achse die Zeit. Im unteren rechten Quadranten repräsentiert die horizontale Achse den Variationsparameter.

Lassen Sie mich Aktionskomponenten vorstellen$S_K$Und$S_P$.
$S_K$für die kinetische Energiekomponente der Aktion und$S_P$für die potentielle Energiekomponente der Aktion.

Im unteren rechten Quadranten:
rotes Diagramm:$S_K$
grüner Graph: Minus $S_P$

Im unteren rechten Quadranten: Wenn der Variationsparameter Null ist, haben die beiden Graphen die gleiche absolute Steigung mit entgegengesetztem Vorzeichen.

Daraus folgt: Wenn der Variationsparameter Null ist:

$$\frac{dS_k}{dp_v} - \frac{dS_p}{dp_v} = 0$$

Der Schritt vom unteren linken zum unteren rechten Quadranten ist der, den ich eingangs angekündigt habe: Die Änderungsrate des Werts eines Integrals ist gleich der Änderungsrate der Steigung der Kurve .

Diese Demonstration ist für einen bestimmten Fall; gleichmäßige Beschleunigung, lässt sich die Argumentation auf alle Fälle verallgemeinern. Im Allgemeinen ist die Reaktion auf die Variation der Versuchsbahn für die kinetische und potentielle Energie unterschiedlich.

Die Reaktion der kinetischen Energie auf Variation ist quadratisch. Beispiel: Wenn die potentielle Energie umgekehrt proportional zur Verschiebung ist, dann reagiert die potentielle Energie auf Variationen.

Energiemechanik

Wie eingangs gesagt: Die Arbeit-Energie-Theorie in Form von Zeitableitungen lautet wie folgt:

$$\frac{d(E_k)}{dt} = \frac{d(-E_p)}{dt}$$

Diese Form ist jedoch nicht praktikabel; Die potentielle Energie ist von Natur aus eine Funktion der Position, aber diese Form erfordert die zeitliche Ableitung der potentiellen Energie.

Wir müssen eine Ableitung nehmen, aber wir sind nicht darauf beschränkt, die zeitliche Ableitung zu nehmen. Die offensichtliche Wahl: Wandeln Sie die Gleichung um, um die Ableitung in Bezug auf die Position zu bilden.

$$\frac{d(E_k)}{ds} = \frac{d(-E_p)}{ds}$$

der Begriff$\frac{d(E_k)}{ds}$ist leicht gestrafft:

$$\frac{d(\tfrac{1}{2}mv^2)}{ds} = \tfrac{1}{2}m\left( 2v\frac{dv}{ds} \right) = m\frac{ds}{dt}\frac{dv}{ds} = m\frac{dv}{dt} = ma$$

Jacobs Lemma
und seine Relevanz für die Euler-Lagrance-Gleichung

Es gibt ein Lemma in der Variationsrechnung, das erstmals von Jacob Bernoulli angegeben wurde (In einer früheren Antwort habe ich vorgeschlagen, es "Jacobs Lemma" zu nennen.)

Als Johann Bernoulli den damaligen Mathematikern das Brachistochrone-Problem präsentiert hatte, gehörte Jacob Bernoulli zu den wenigen, die es lösten. Die Behandlung durch Jacob Bernoulli findet sich in den Acta Eruditorum , Mai 1697, S. 211-217

Jacob eröffnet seine Abhandlung mit einer Bemerkung darüber, dass die gesuchte Kurve ein Minimum ist.

Lemma. Sei ACEDB die gesuchte Kurve, entlang der ein schwerer Punkt in kürzester Zeit von A nach B fällt, und seien C und D zwei beliebig nah beieinander liegende Punkte darauf. Dann ist das Bogensegment CED unter allen Bogensegmenten mit C und D als Endpunkten das Segment, das ein von A fallender schwerer Punkt in kürzester Zeit durchläuft. Tatsächlich würde sich der Punkt in kürzerer Zeit entlang AGFDB als entlang ACEDB bewegen, wenn ein anderes Segment des Bogen-CFD in kürzerer Zeit durchlaufen würde, was unserer Annahme widerspricht.

Ich gehe davon aus, dass Jacobs Lemma auf die gesamte Variationsrechnung verallgemeinert werden kann.

Wenn die Kurve als Ganzes ein Extremum ist, dann ist auch jeder Teilabschnitt ein Extremum, bis hin zu unendlich kurzen Teilabschnitten. Daher kann die Bedingung für eine Kurve, die ein Extremum ist , auch als Differentialgleichung ausgedrückt werden.

Die Euler-Lagrange-Gleichung nutzt diese Eigenschaft. Die Euler-Lagrange-Gleichung nimmt ein Problem, das in Begriffen der Variationsrechnung angegeben ist, und formuliert es in Begriffen der Differentialrechnung neu.

Hamiltons stationäre Aktion

Hamiltons stationäre Aktion nimmt ein Problem in der Mechanik auf und verwendet das Arbeits-Energie-Theorem, um es in Bezug auf die Variationsrechnung neu zu formulieren. Dann wird die Euler-Lagrange-Gleichung verwendet, um die Form des Problems auf die Differentialrechnung zurückzubringen.