Null geodätische Gleichung

Natürlich, wenn Sie eine Parametrisierung der beliebigen Kurve zufriedenstellend wählen $$g_{ij}V^iV^j = \text{const.}$$ . Entlang der Kurve bleibt dies so. Ich frage, ob die Konstante Null ist, was die Kurve zu Null macht und jede Neuparametrisierung die Null nicht ändert, was ist der affine Parameter und was ist die daraus abgeleitete geodätische Gleichung?

Der affine Parameter in GR ist die Eigenzeit $\tau = \int d\tau = \int \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}}~d\lambda$. Die Aussagen $d\tau > 0$, $d\tau < 0$Und $d\tau = 0$sind unter jeder Koordinatentransformation und Parametrisierung unveränderlich. Wenn Sie über Nullgeodesik sprechen, ist die Eigenzeit keine gute Parametrisierung mehr. Sie müssen eine andere Parametrierung vornehmen $\lambda \ne \tau$Dann. Die geodätischen Gleichungen für diese Parametrisierung ist immer noch die Euler-Lagrange-Gleichung für $L = \sqrt{g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\nu}{d\lambda}}$

@ user3229471: Eine Lösung für die geodätischen Gleichungen, die erfüllt $g_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{d\lambda} \frac{dx^\mu}{d\lambda} = 0$Einmal auf dem Pfad wird es überall auf dem Pfad und für jede Parametrisierung erfüllt $\lambda$. In diesem Sinne ist die Aussage, dass ein Pfad eine Nullgeodäte ist, eine parametrisierungsunabhängige Aussage (wie es sein sollte, da sich ein Pfad nicht um seine Parametrisierung „kümmert“).

Der wirkliche Unterschied bei zeit-/licht-/raumähnlichen Pfaden sind also nur die Anfangsbedingungen, die Sie ihnen auferlegen. Sie sind alle Lösungen derselben geodätischen Gleichungen (das sind die Euler-Lagrange-Gleichungen für eine stationäre Eigenzeit $\tau$und eine gewisse Parametrisierung $\lambda$)

Eigentlich, weil $d\tau > 0$oder $d\tau < 0$über den ganzen Weg unveränderlich ist, kann man deshalb noch nehmen $\tau$als (natürliche) Parametrisierung zeit-/raumartiger Geodäten in GR.

Ich meine nur, wenn es der Nullfall ist, ist es schwer zu zeigen, wie man die Lagrange-Funktion extermisiert und die übliche geodätische Gleichung erhält. und Was ist der affine Parameter, wenn es nicht die richtige Zeit oder Länge ist?

@ user3229471: die Tatsache, dass für Null-Geodäten $\tau = \int d\tau = 0$bedeutet nicht, dass Sie die Variationsrechnung nicht auf die funktionalen (!) $\tau$. Bei üblichen euklidischen Mannigfaltigkeiten der affine Parameter $\tau$ist die Länge entlang des Weges. Sie kann als Parametrisierung verwendet werden, da diese Länge entlang des Pfads eine monotone Funktion ist. In GR gilt diese Monotonie auch für zeit/raumartige Pfade, so dass es immer noch eine gültige Parametrisierung ist. Jedoch, $\tau = 0$entlang des Pfades für Null-Geodäten.

Aus diesem Grund müssen Sie eine andere Parametrierung wählen. Dennoch sind die Euler-Lagrange-Gleichungen diejenigen, die man lösen muss, wenn man Geodäten bekommen will. Sie können diese Gleichungen durch Paramatisierungen ausdrücken $\lambda \ne \tau$. Dies ist keine Schwierigkeit. Diese Gleichungen werden sich jedoch bei Koordinatentransformationen im Allgemeinen wahrscheinlich anders transformieren $\lambda$wird dann kein Skalar sein. Dies ist jedoch kein Problem.

Es könnte interessant sein, sich dies als einen begrenzenden Prozess vorzustellen. Wir betrachten eine Null-Geodäte als die Grenze zeitähnlicher Geodäten.