Warum maximiert eine zeitähnliche Geodäte die Pfadlänge?

Ich studiere etwas GR und mein Buch sagt, dass Geodäten in Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten sogar den Pfad lokal maximieren können. Das passiert zum Beispiel mit den zeitähnlichen Geodäten. Meine erste Frage: Ist diese Aussage leicht zu beweisen? Ich meine, folgt es direkt aus der lokal minimierenden Eigenschaft von Geodäten in Riemannschen Mannigfaltigkeiten? Wenn ja, erklären Sie es mir bitte, andernfalls schlagen Sie mir eine Referenz vor, wo ich den Beweis finden kann.

Es scheint, dass diese Minimierungs-/Maximierungseigenschaften von der kausalen Struktur der Geodäten (zeitlich, raumartig oder nullartig) abhängen, und im Allgemeinen kann nichts über die Eigenschaften dieser Geodäten gesagt werden, ohne ihre kausale Struktur zu kennen. Ist das richtig?

Crossposted zu math.SE . Bitte nicht crossposten. Auch Hinweis: Beachten Sie, dass es immer möglich ist, einen Pfad in einer kleinen Umgebung einer zeitähnlichen Geodäte zu finden (indem Sie einen Pfad um die "Röhre" um den zeitähnlichen Pfad winden), der in der Lorentzschen Metrik kürzer ist als die zeitähnlicher Weg.
Gehen Sie dieses Problem mit der Variationsrechnung an, in den Pseudo-Riemannschen Mannigfaltigkeiten ist die zweite Variation für zeitartige Kurven negativ (also sind Geodäten ein lokales Maximum) und in der üblichen Riemannschen Geometrie positiv (also ein lokales Minimum). In beiden Fällen ergibt das Setzen der ersten Variation der Länge gleich Null eine geodätische Gleichung.
Hier gibt es eine verwandte Frage .
Verwandte: physical.stackexchange.com/q/67483/2451 , Physics.stackexchange.com /q/94348/2451 , Physics.StackExchange.com /q/137422/2451 , Physics.StackExchange.com /q/149082/2451 und Links darin.
@JohnRennie, Qmechanic, vielleicht war ich nicht klar. Mein Problem ist, die geodätischen Gleichungen nicht zu finden. Ich verstehe, dass Geodäten stationäre Kurven sind. Was ich zu finden versuche, ist eine einfache Möglichkeit zu sehen, wie zeitähnliche Geodäten die Pfadlänge maximieren und warum raumähnliche Geodäten ein Sattel im Raum der Kurven sind.

Antworten (2)

Zunächst skizzieren wir einen Beweis, dass eine zeitartige Geodäte ein Maximum an Eigenzeit ist. (Wir schließen Sattelpunkte vorerst aus.) Let γ eine Kurve sein, die die geodätische Gleichung erfüllt, dh sie ist ein Extremum der Eigenzeit, definiert durch τ [ γ ] := ∫ − ⟨ γ ˙ , γ ˙ ⟩ D T . Es ist ziemlich einfach zu zeigen, dass es immer eine Kurve gibt μ wofür τ [ μ ] < τ [ γ ] , andeutend γ ist kein Minimum. Bauen Sie mit γ ein "Rohr", das beliebig breit ist. Lassen μ eine Kurve sein, die dieselben Anfangs- und Endpunkte hat wie γ . Lassen μ an der Röhre entlang beschränkt sein γ . Jetzt Wind μ entlang des Rohres, so dass sie nahezu Null ist, dh die Tangente der Kurve nähert sich an jedem Punkt des Rohres dem Nullkegel. Damit haben wir eine Kurve mit konstruiert τ [ μ ] willkürlich nahe Null, was kleiner als gemacht werden kann τ [ γ ] .

Dies impliziert, dass eine Geodäte kein Minimum ist, kann aber nicht bestimmen, dass eine zeitähnliche Geodäte kein Sattel ist. Dies ist jedoch auch nicht ganz richtig. Hier zitieren wir Theorem 9.9.3 in [1] 1 .

Lassen γ sei eine glatte zeitähnliche Kurve, die zwei Punkte verbindet P , Q . Dann die notwendige und hinreichende Bedingung dafür γ lokal maximieren Sie die richtige Zeit dazwischen P Und Q über glatten Ein-Parameter-Variationen ist das γ eine Geodäte ohne konjugierten Punkt sein P zwischen P Und Q .

Eine zeitähnliche Geodäte ist also nicht unbedingt ein Maximum an Eigenzeit. Das Studium der Geodäten knüpft an die kausale Struktur an, Refs. [1] und [2] werden für diesen Zweck dringend empfohlen.

Zwei Standardreferenzen zur kausalen Struktur sind:

[1] RM Wald, Allgemeine Relativitätstheorie (1984).

[2] SW Hawking & GFR Ellis, The large scale structure of space-time (1973).

1 Dies wird wiederum aus Proposition 4.5.8 in [2] zitiert, aber ich bevorzuge die Formulierung von [1]. Beachten Sie, dass der vollständige Beweis in [2] zu finden ist.

Ich habe es nicht verstanden. In Ihrem ersten Absatz verwenden Sie nicht die Annahme, dass γ ist eine Geodäte. Folglich beweisen Sie, dass es keine kürzeste zeitähnliche Kurve gibt, da wir immer eine andere zeitähnliche Kurve finden können, die noch kürzer ist (willkürlich nahe Null), nicht dass jede zeitähnliche Kurve kürzer als eine zeitähnliche Geodäte ist. Was vermisse ich?
@IberêKuntz Der Punkt, den ich mache, ist, dass eine Geodäte γ ist kein Minimum an Eigenzeit, sondern ein Maximum (oder ein Sattel, das hängt von der kausalen Struktur ab).
Würden Sie erklären, warum die letzte Gleichung auf Seite 111 von Lit. [2] ist möglich? Beachten Sie, dass das Vektorfeld K A ist orthogonal zu einem zeitartigen Vektorfeld. Man kann eine Tetrade wählen und das zeitartige Vektorfeld dann ein Element der Tetrade sein lassen K A = ( 0 , K 1 , K 2 , K 3 ) , also sollte die letzte Gleichung immer positiv sein (Hawking & Ellis haben die Mostly-Plus-Konvention verwendet).
@DrakeMarquis Soweit ich das beurteilen kann, ist die einzige Anforderung an K A ist, dass es ein Vektorfeld senkrecht zu ist γ die an ihren Endpunkten verschwindet. Also wenn D W A / ∂ S ≠ 0 bei R , dann kann man natürlich ein solches Vektorfeld konstruieren. (Nehmen Sie es einfach parallel zu D W A / ∂ S und entsprechend skalieren.) Also müssen wir nur beantworten, warum diese Ableitung nicht Null ist.
Wenn die Ableitung Null wäre, dann W A und seine Ableitung wäre Null bei R . Aber W A erfüllt eine homogene ODE zweiter Ordnung, also W A Und D W A / ∂ S verschwinden bei R würde bedeuten W A ≡ 0 . Dies ist ein Widerspruch.
Hoppla, mein Gehirn hat nicht richtig funktioniert. Ich dachte immer, zwei räumliche Vektoren haben ein positives inneres Produkt ...

Denken Sie an das Zwillingsparadoxon , bei dem ein Zwilling in einem Raumschiff mit hoher Geschwindigkeit ins All hinausreist und wieder zurückkehrt, während der andere Zwilling stationär auf der Erde bleibt. Am Ende wird der in einem Raumschiff reisende Zwilling aufgrund der Zeitdilatation weniger gealtert sein. Der Zwilling, der auf der Erde bleibt, reist möglicherweise entlang einer Geodäte, und er wird mehr gealtert sein als sein Zwilling (der von der Geodäte abgewichen ist), dh sein zeitähnlicher Pfad wird eine größere Eigenzeit haben (als die „Länge“ einer zeitähnlichen Weg ist seine richtige Zeit). Genau das ist das Prinzip der Pfadmaximierung in der Allgemeinen Relativitätstheorie.

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