Warum zwei verschiedene Lagrangeoperatoren zur Ableitung geodätischer Gleichungen?

Question

Warum zwei verschiedene Lagrangeoperatoren zur Ableitung geodätischer Gleichungen?

Peter4075

Ich versuche (sehr früh) die Ableitung der geodätischen Gleichung zu verstehen

\frac{D^{2} X^{a}}{D λ^{2}} + Γ_{γ β}^{a} \frac{D X^{β}}{D λ} \frac{D X^{γ}}{D λ} = 0

$\frac{d^{2}x^{\alpha}}{d\lambda^{2}}+\Gamma_{\gamma\beta}^{\alpha}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda}\frac{dx^{\gamma}}{d\lambda}=0$ über Lagrange und die Euler-Lagrange-Gleichungen. Ich verstehe nicht, warum manche Autoren den Lagrange verwenden

L ({\dot{X}}^{C}, X^{C}) \equiv \frac{1}{2} G_{A B} (X^{C}) {\dot{X}}^{A} {\dot{X}}^{B}

$L\left(\dot{x}^{c},x^{c}\right)\equiv\frac{1}{2}g_{ab}\left(x^{c}\right)\dot{x}^{a}\dot{x}^{b}$ (wie in Foster und Nightingale's A Short Course in General Relativity , S. 60) und andere verwenden die Lagrange-Funktion

L ({\dot{X}}^{a}, X^{a}) \equiv \sqrt{- G_{μ v} (X^{a}) {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}}

$L\left(\dot{x}^{\alpha},x^{\alpha}\right)\equiv\sqrt{-g_{\mu\nu}\left(x^{\alpha}\right)\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}$ (wie in Moores A General Relativity Workbook , S. 90). Mir ist klar, dass ich hier verwirrt sein muss, aber ich kann nicht warum, da beide anscheinend mit derselben geodätischen Gleichung enden.

zzz

Es ist nicht ungewöhnlich, dass unterschiedliche Lagrange-Funktionen dieselbe Bewegungsgleichung ergeben. Mögliches Duplikat von physical.stackexchange.com/q/149082

Calmarius

Wollen Sie wirklich geodätische Gleichungen mit Lagrangians ableiten? Ich denke, es ist einfacher, wenn Sie differenzielle geometrische Konzepte in einfacher Sphäre ableiten und üben. Sie sollten zuerst die kovariante Ableitung verstehen; wenn es null ist, haben Sie parallelen Transport definiert; Wenn Sie einen Vektor parallel in die Richtung in Punkte transportieren, folgen Sie einer Geodäte, und das ergibt ganz intuitiv die geodätische Gleichung. Grundsätzlich sagt die Gleichung aus, wie Sie die Koordinaten Ihres Geschwindigkeitsvektors ändern müssen, um auf einem geraden Pfad zu bleiben.

QMechaniker

Technisch gesehen führen der Quadratwurzel-Lagrange und der Nicht-Quadratwurzel-Lagrange zu leicht unterschiedlichen EL-Gleichungen. Die Lösungen sind bekanntlich für beide Gl. (parametrisierte) Geodäten, aber wo die frühere Gl. erzeugt alle parametrisierten Geodäten, letztere Gl. erzeugt nur affin parametrisierte Geodäten, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .

Peter4075

@Qmechanic - danke. Wie kommt es, dass Valter Morettis Ableitung hier (die über meinem Kopf liegt) mit der Quadratwurzel-Lagrange beginnt und mit (was ich annehme) den affin parametrisierten geodätischen Gleichungen, dh meiner ersten Gleichung, endet?

QMechaniker

Seine Ableitung (v6) geht davon irgendwann aus.

Antworten (1)

Warum zwei verschiedene Lagrangeoperatoren zur Ableitung geodätischer Gleichungen?

Es ist nicht ungewöhnlich, dass unterschiedliche Lagrange-Funktionen dieselbe Bewegungsgleichung ergeben. Mögliches Duplikat von physical.stackexchange.com/q/149082
Wollen Sie wirklich geodätische Gleichungen mit Lagrangians ableiten? Ich denke, es ist einfacher, wenn Sie differenzielle geometrische Konzepte in einfacher Sphäre ableiten und üben. Sie sollten zuerst die kovariante Ableitung verstehen; wenn es null ist, haben Sie parallelen Transport definiert; Wenn Sie einen Vektor parallel in die Richtung in Punkte transportieren, folgen Sie einer Geodäte, und das ergibt ganz intuitiv die geodätische Gleichung. Grundsätzlich sagt die Gleichung aus, wie Sie die Koordinaten Ihres Geschwindigkeitsvektors ändern müssen, um auf einem geraden Pfad zu bleiben.
Technisch gesehen führen der Quadratwurzel-Lagrange und der Nicht-Quadratwurzel-Lagrange zu leicht unterschiedlichen EL-Gleichungen. Die Lösungen sind bekanntlich für beide Gl. (parametrisierte) Geodäten, aber wo die frühere Gl. erzeugt alle parametrisierten Geodäten, letztere Gl. erzeugt nur affin parametrisierte Geodäten, vgl. zB meine Phys.SE-Antwort hier .
@Qmechanic - danke. Wie kommt es, dass Valter Morettis Ableitung hier (die über meinem Kopf liegt) mit der Quadratwurzel-Lagrange beginnt und mit (was ich annehme) den affin parametrisierten geodätischen Gleichungen, dh meiner ersten Gleichung, endet?

Kind des Saturn · Answer 1

Tatsächlich sind die Bewegungsgleichungen, die man am Ende erhält, offensichtlich nicht gleich:

Wenn ich lasse

L_{1} = \sqrt{G_{μ v} \frac{D X^{μ}}{D T} \frac{D X^{v}}{D T}}

$L_1 = \sqrt{g_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{dt} \frac{dx^{\nu}}{dt}}$ findet man, dass die Euler-Lagrange-Gleichung ist

\frac{D^{2} X^{μ}}{D T^{2}} + Γ_{v σ}^{μ} \frac{D X^{v}}{D T} \frac{D X^{σ}}{D T} = F (T) \frac{D X^{μ}}{D T},

$\frac{d^2 x^{\mu}}{dt^2} + \Gamma^{\mu}_{\nu\sigma} \frac{dx^{\nu}}{dt} \frac{dx^{\sigma}}{dt} = f(t) \frac{dx^{\mu}}{dt},$ für eine passende Funktion

f (t)

$f(t)$ (Sie sollten versuchen, dies abzuleiten), während für

L_{2} = (L_{1})^{2}

$L_2 = (L_1)^2$ , die Gleichung ist das, was Sie oben geschrieben haben. Wie hängen diese beiden zusammen und warum führen sie zu derselben Lösung? Die Antwort hat mit dem Parameter zu tun, der zur Beschreibung der Kurve verwendet wird.

Im Fall von $L_1$ , der Parameter ist beliebig. Das sieht man der Aktion an $S_1 = \int dt L_1$ ist reparametrisierungsinvariant, nämlich wenn wir nehmen $t \rightarrow \lambda(t)$ , $S_1$ ändert sich nicht. Dies impliziert, dass wir jeden beliebigen Parameter frei wählen können, ohne die Physik zu beeinflussen.

Man kann zeigen, dass es ein Besonderes gibt $\lambda(t)$ für die der EOM von $L_1$ reduzieren auf den EOM von $L_2$ (ein solcher Parameter wird als affiner Parameter bezeichnet). Es ist eine sehr interessante Übung, und ich überlasse es Ihnen, an den Details zu arbeiten.

Danke. Ich werde versuchen, die von Ihnen angegebenen nicht-affinen geodätischen Gleichungen abzuleiten. Hast du inzwischen einen Link zu dieser Ableitung? Ich bin immer noch verwirrt darüber, wie Moore mit dem Quadratwurzel-Lagrangian beginnt und bei den affinen geodätischen Gleichungen endet.
Ich bin mit der Quelle, die Sie verwenden, nicht vertraut, aber der klarste (IMO) Weg, um die affinen geodätischen Gleichungen aus dem Quadratwurzel-Lagrange zu erhalten, besteht darin, zuerst die nicht-affinen Gleichungen zu erhalten und dann Ihren beliebigen Parameter auf ein umzustellen affine. Soweit ich eine Quelle für die Ableitung habe, kenne ich keine, die die nicht-affine Gleichung direkt ableitet (obwohl es nicht schwierig ist). Carroll beginnt in seinen Notizen mit dem Quadratwurzel-Lagrange und wechselt dann in der Mitte seiner Ableitung zu einem affinen Parameter. Siehe Seite 15 in: preposterousuniverse.com/grnotes/grnotes-three.pdf
Danke, aber ich kann einfach nicht sehen, wie er wird $d\tau$ als Nenner nach Durchführung der affinen Parametersubstitution (Gleichung 3.52).
Dafür wendet man einfach die Kettenregel an, wenn ich deine Verwirrung richtig verstehe.
Irgendeine Chance auf einen Hinweis, wie diese Kettenregel aussieht? Ich kann nicht sehen, wie er (3.52) in (3.51) einsetzt, um die Gleichung unten auf Seite 69 zu erhalten. Vielen Dank für Ihre Geduld.
Entschuldigen Sie die späte Antwort, aber ich meine nur, dass es sich aus der Bewerbung ergibt $\frac{dx^{\mu}}{d\lambda} = \frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{d\tau}{d\lambda}$ . Falls weiterer Klärungsbedarf besteht, stellen Sie dies bitte als separate Frage und ich gehe dort gerne näher darauf ein.
Ich konnte es nicht herausfinden, also habe ich eine separate Frage gestellt, hier physical.stackexchange.com/questions/183970/… . Es wurde sehr schön von Horus beantwortet. Jetzt ist der Groschen gefallen. Danke.

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Peter4075

zzz

Calmarius

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