Explizite Variation des Gibbons-Hawking-York-Grenzterms

Ich habe noch nie eine Arbeit gesehen, in der die Berechnung auf offensichtlich kovariante Weise durchgeführt wird. Ich habe jedoch auf meiner Website (http://jacobi.luc.edu/notes.html) eine Reihe von Referenznotizen veröffentlicht, die die Variationen enthalten, die zur Durchführung der Berechnung erforderlich sind. Lassen Sie mich die Berechnung hier zusammenfassen.

Die Wirkung der Schwerkraft auf eine kompakte Region$M$mit Grenze$\partial M$ist

$$I_{EH} + I_{GHY} = \frac{1}{2 \kappa^2} \int_{M}d^{d+1}x \sqrt{-g} R + \frac{1}{\kappa^2} \int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h} K ~.$$ Die Metrik an $M$ist $g_{\mu\nu}$, und $R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$ist der Ricci-Skalar. Die induzierte Metrik an der Grenze $\partial M$ist $h_{\mu\nu} = g_{\mu\nu} - n_{\mu} n_{\nu}$, wo $n^{\mu}$ist der (raumartige) Einheitsvektor senkrecht zu $\partial M \subset M$. Betrachten Sie nun eine kleine Variation in der Metrik: $g_{\mu\nu} \to g_{\mu\nu} + \delta g_{\mu\nu}$. Die im Einstein-Hilbert-Teil der Wirkung auftretenden Größen ändern sich wie folgt: $$\delta \sqrt{-g} = \frac{1}{2} \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu}$$ $$\delta R = -R^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} + \nabla^{\mu}\left(\nabla^{\nu} \delta g_{\mu\nu} - g^{\nu\lambda} \nabla_{\mu} \delta g_{\nu\lambda} \right)$$ Also der Wechsel in $I_{EH}$ist $$\begin{aligned}\delta I_{EH} = & \frac{1}{2\kappa^{2}}\int_{M} d^{d+1}x \sqrt{-g} \left(\frac{1}{2} g^{\mu\nu} R - R^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}\\ & + \frac{1}{\kappa^2} \int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h} \frac{1}{2} n^{\mu} \left(\nabla^{\nu} \delta g_{\mu\nu} - g^{\nu\lambda} \nabla_{\mu} \delta g_{\nu\lambda}\right)~,\end{aligned}$$ wobei der Randterm aus dem Volumenintegral der Gesamtableitung in stammt $\delta R$. Die Variationen der Größen im GHY-Term sind etwas komplizierter zu berechnen, aber sie folgen alle im Grunde aus Standarddefinitionen und dies ergibt sich für die Variation des Normalenvektors: $$\delta n_{\mu} = \frac{1}{2} n_{\mu} n^{\nu} n^{\lambda} \delta g_{\nu\lambda} = \frac{1}{2} \delta g_{\mu\nu} n^{\nu} + c_{\mu}~.$$ In der zweiten Gleichung habe ich einen Vektor eingeführt $c_{\mu}$das ist orthogonal zu $n^{\mu}$; es ist gegeben durch $$c_{\mu} = - \frac{1}{2} h_{\mu}{}^{\lambda} \delta g_{\nu\lambda} n^{\nu} ~.$$ Der Grund, warum ich diesen Vektor eingeführt habe, ist, dass die Variation in der Spur der extrinsischen Krümmung geschrieben werden kann als $$\delta K= - \frac{1}{2} K^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} - \frac{1}{2} n^{\mu}\left(\nabla^{\nu} \delta g_{\mu\nu} - g^{\nu\lambda} \nabla_{\mu} \delta g_{\nu\lambda} \right) + D_{\mu} c^{\mu}$$ wo $D_{\mu}$ist die kovariante Ableitung entlang $\partial M$das mit der induzierten Metrik kompatibel ist $h_{\mu\nu}$. Also, die Änderung im GHY ist Teil der Aktion $$\delta I_{GHY} = \frac{1}{\kappa^2} \int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h}\left(\frac{1}{2}h^{\mu\nu} \delta g_{\mu\nu} K + \delta K \right)~.$$ Dies kombiniert mit $\delta I_{EH}$Wir sehen, dass sich die verschiedenen Terme aufheben und verlassen $$\begin{aligned} \delta I = & \frac{1}{2\kappa^2}\int_{M} d^{d+1}x \sqrt{-g}\left(\frac{1}{2} g^{\mu\nu} R - R^{\mu\nu} \right)\delta g_{\mu\nu}\\ & + \frac{1}{\kappa^2}\int_{\partial M} d^{d}x \sqrt{-h}\left(\frac{1}{2}(h^{\mu\nu} K - K^{\mu\nu})\delta g_{\mu\nu} + D_{\mu} c^{\mu} \right) ~.\end{aligned}$$ Wir verwerfen den Begriff $D_{\mu} c^{\mu}$, die eine totale Randableitung ist.

Ich mache meinen Bachelor über so etwas und wir haben uns sogar dafür entschieden, doppelte Grenzbegriffe in die Variation aufzunehmen.

Zusätzlich zu diesem Artikel, Variationsprinzip und 1-Punkt-Funktionen im 3-dimensionalen flachen Raum Einstein-Gravitation von Stephane Detournay et al., erhalten wir einen weiteren Begriff:

$$-\frac{(1-\alpha)}{16\pi G}\int_{\mathcal{\partial M}}d^3x\sqrt{-\gamma}\frac{1}{2}n^c \nabla_c(n^an^b)\delta g_{ab}$$ die Gesamtvariation des GHY-Terms (mit einem freien Parameter $\alpha$) und der gewöhnliche EH-Term sieht dann so aus:

$$\begin{align} \delta \Gamma_{(\alpha)}&=\frac{1}{16\pi G}\int_{\mathcal{M}}d^4x\sqrt{-g}G^{ab}\delta g_{ab} \\ &\quad + \frac{1}{16\pi G}\int_{\mathcal{{\partial}M}}d^3x\sqrt{-\gamma}\left(K^{ab}-\alpha K g^{ab}+(2\alpha-1)Kn^an^b\right)\delta g_{ab} \\&\quad+\frac{(1-\alpha)}{16\pi G}\int_{\mathcal{\partial M}}d^3x\sqrt{-\gamma}\left(\gamma^{ab}n^c\nabla_c-\frac{1}{2}n^c\nabla_c(n^an^b)\right)\delta g_{ab} \\&\quad+\frac{(2\alpha-1)}{16\pi G}\int_{\mathcal{\partial^2M}}d^2x\sqrt{-\gamma'}{n'}^an^b\delta g_{ab} \end{align}$$