Funktionale Derivate als Ausschüttungen

Ich habe dies aufgrund seines hauptsächlich mathematischen Inhalts beim Math Stack Exchange gefragt, aber abgesehen von einer positiven Bewertung und minimalen Ansichten hat es keine Aufmerksamkeit erregt, also versuche ich es auch hier. Das ist nicht wirklich wichtig, aber es hat mich beim Studium des Variationsformalismus in der Allgemeinen Relativitätstheorie beschäftigt.

"Lassen$(M,\mathcal{S},g)$Sei ein glatter,$n$-dimensionale Mannigfaltigkeit, die mit einer Riemann-Metrik ausgestattet ist. Lassen Sie uns den Vektorraum von bezeichnen$(p,q)$-Typ Tensorfelder an$M$als$\mathcal{T}_{q}^{p}(M)$.

Lassen$\Psi:\mathbb{R}\rightarrow\mathcal{T}_{q}^{p}(M),\varepsilon\mapsto\Psi(\varepsilon)$sei eine glatte Kurve und verwenden wir die Schreibweise wo$\Psi$bezeichnet$\Psi(0)$.

Lassen$S:\mathcal{T}_{q}^{p}(M)\rightarrow\mathbb{R}$ein funktionales sein, so dass

$$S[\Psi]=\int_{M}\mathcal{L}(\Psi,\nabla\Psi)\sqrt{|\det(g)|}\mathrm{d}x^{1}\wedge...\wedge\mathrm{d}x^{n}.$$

In diesem Fall sagen wir$S$ist funktional ableitbar at$\Psi$, wenn es eine gibt$\frac{dS[\Psi]}{d\Psi}\in\mathcal{T}_{p}^{q}(M)$Tensorfeld, das

$$\left.\frac{dS[\Psi(\varepsilon)]}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=\int_M\frac{dS[\Psi]}{d\Psi}\bullet\left.\frac{d\Psi(\varepsilon)}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\sqrt{|\det(g)|}\mathrm{d}x^{1}\wedge...\wedge\mathrm{d}x^{n},$$ Wo $\bullet$bedeutet volle Kontraktion.

Meine Fragen beziehen sich auf technische Details dieses Derivats. Physikbücher stellen im Allgemeinen keine strengen Bedingungen für den Raum von Tensorfeldern auf, auf denen$S$ist definiert.

Welche Strukturen muss dieser Raum besitzen, damit dies Sinn macht? Ich nehme an, die Hausdorff-Topologie ist ein Muss, aber muss sie normiert werden? Wenn ja, welche Norm verwenden wir, die der Physik nicht widerspricht, oder welche Norm ist im physikalischen Kontext sinnvoll?

Wald erwähnt in einer Fußnote, dass im Allgemeinen eine Tensorverteilung existieren muss, damit

$$\left.\frac{dS[\Psi(\varepsilon)]}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}=\left\langle\frac{dS[\Psi]}{d\Psi},\left.\frac{d\Psi(\varepsilon)}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0}\right\rangle.$$ Gibt es innerhalb der Grenzen der Physik eine denkbare Situation, in der diese Verteilung singulär ist, dh. existiert nicht als Integral?"