Ich verstehe nicht warum
Wenn wir die partielle Integration verwenden, sollte es ein Minuszeichen geben, richtig? Sollte nicht noch da sein? Oder sagen wir das
In dieser Antwort werden wir nur eine allgemeine konzeptionelle Bemerkung zur Variations-/Funktionsableitung (FD) machen, die hoffentlich implizit die spezifischen Fragen von OP beantwortet.
OP erwägt offenbar die FD mit der gleichen Raumzeit.
[Wir verwenden das Symbol (statt ), um die Tatsache zu betonen, dass das Derivat ist eine totale Ableitung, die sowohl eine implizite Differenzierung durch die Feldvariablen beinhaltet , und explizite Differenzierung bzgl. . Die Ellipse in Gl. (A) bezeichnet mögliche Beiträge von Raumzeitableitungen höherer Ordnung.]
Die 'gleiche Raumzeit' FD ist so ausgelegt, dass sie eine kürzere Notation ergibt und die wohlbekannte Euler-Lagrange-Formel für die Variations-/Funktionsableitung reproduziert.
Aber es ist wichtig zu betonen, dass die Notation „gleiche Raumzeit“ (A) konzeptionell irreführend ist: Wir variieren nicht die Lagrange-Dichte wrt. das Feld im selben Raumzeitpunkt , wie die Notation (A) vermuten lässt. Wir variieren wirklich die Aktion funktional wrt. das Feld .
Für weitere Informationen siehe zB auch this und this Phys.SE posts.
Das funktionale Derivat wirkt auf Funktionale , Dinge, die Funktionen auf reelle Zahlen abbilden. Das heißt, sie handeln nach Aktionen , nicht Lagrangianer . Ich weiß nicht, woher Sie Ihre ursprüngliche Frage haben, aber es sollte tatsächlich ein Minuszeichen geben! Alles in allem denke ich, was Sie fragen, warum:
Es gibt schnelle Formeln, die Sie nachschlagen können, aber zum Verständnis finde ich es immer am einfachsten, die Variation direkt durchzuarbeiten. Nehmen Sie zuerst Ihre Amtszeit und mach die Verwandlung :
Jetzt können Sie wahrscheinlich sehen, wohin das führt, die wird von den beiden abgerechnet Bedingungen in der Erweiterung. Das ist wirklich nur eine Produktregel!
Zum Extrahieren der Sie können jeden Term nach Teilen integrieren und die Gesamtableitung fallen lassen, da dies Physik ist und an der Grenze alles 0 ist :)
Abschnitt 9.2 von Peskin & Schroeder führt die Axiome der funktionalen Integration durch, falls Sie eine formellere Betrachtungsweise wünschen.