Mathematische Interpretation von Poisson-Klammern

Question

Mathematische Interpretation von Poisson-Klammern

Physik
Feldtheorie
Poisson-Klammern
mathematisch-physik
funktionale Ableitungen
Dirac-Delta-Verteilungen

Benutzer47224

Nehmen wir an, wir arbeiten in einer klassischen Skalarfeldtheorie und haben zwei Funktionen $F[\phi, \pi](x)$ Und $G[\phi, \pi](x)$ . In den meisten Referenzen wird beginnend mit zwei Funktionen die Poisson-Klammer als definiert

{F (X), G (j)} = \int D^{3} z (\frac{δ F (X)}{δ ϕ (z)} \frac{δ G (j)}{δ π (z)} - \frac{δ F (X)}{δ π (z)} \frac{δ G (j)}{δ ϕ (z)}) .

$\{F(x),G(y)\} = \int d^3z \left( \frac{\delta F(x)}{\delta \phi(z)}\frac{\delta G(y)}{\delta \pi(z)} - \frac{\delta F(x)}{\delta \pi(z)}\frac{\delta G(y)}{\delta \phi(z)}\right) .$

Aber wie hier erklärt die funktionale Ableitung $\frac{\delta F}{\delta \phi}$ ist eher eine Verteilung als eine Funktion, daher macht die vorherige Definition nicht viel Sinn. Ich habe mich damals gefragt, ob die Poisson-Klammer als die eingerechnete Faltung interpretiert werden kann $(x-y)$ (im Sinne von Verteilungen) zwischen den funktionalen Derivaten. Dies funktioniert bei Interesse wie zB $\{\phi(x), \pi(y) \}$ aber ich bin mir nicht sicher, ob es für zwei generische Funktionen (die Abhängigkeit $(x-y)$ ist nicht explizit). Gibt es einen Beweis, dass die Poisson-Klammer eine Faltung ist? Können allgemein Feldtheorien formal im Sinne von Verteilungen formuliert werden?

QMechaniker

Verwandte Frage zu Math.SE: math.stackexchange.com/q/444393/11127

Antworten (1)

Mathematische Interpretation von Poisson-Klammern

Verwandte Frage zu Math.SE: math.stackexchange.com/q/444393/11127

QMechaniker · Answer 1

I) Es ist erwähnenswert, dass es einen grundlegenden Ansatz gibt, der für physikalische Anwendungen gut geeignet ist (wo wir normalerweise Lokalität annehmen), der es vermeidet, zwei Verteilungen miteinander zu multiplizieren. Die Idee ist, dass die beiden Eingänge $F$ Und $G$ in der Poisson-Klammer (PB)

\begin{matrix} (1) & {F, G} = \int_{M} D X (\frac{δ F}{δ ϕ (X)} \frac{δ G}{δ π (X)} - \frac{δ F}{δ π (X)} \frac{δ G}{δ ϕ (X)}) \end{matrix}

$\tag{1}\{F,G\} ~=~ \int_M \!dx \left( \frac{\delta F}{\delta \phi(x)}\frac{\delta G}{\delta \pi(x)} - \frac{\delta F}{\delta \pi(x)}\frac{\delta G}{\delta \phi(x)} \right)$

werden als (differenzierbare) lokale Funktionale angenommen. $^1$ Wenn eine funktionale $F$ ist differenzierbar $^2$ die funktionellen Derivate

\begin{matrix} (2) & \frac{δ F}{δ ϕ (X)}, \frac{δ F}{δ π (X)}, \end{matrix}

$\tag{2}\frac{\delta F}{\delta \phi(x)},\frac{\delta F}{\delta \pi(x)},$

von $F$ wrt. alle Felder $\phi(x)$ , $\pi(x)$ , existieren.

Wenn die beiden Eingänge $F$ Und $G$ als differenzierbare lokale Funktionale angenommen werden, werden die funktionalen Ableitungen (2) lokale Funktionen sein $^1$ (im Gegensatz zu Verteilungen), und es ist sinnvoll, zwei solche funktionalen Ableitungen miteinander zu multiplizieren und schließlich zu integrieren, um PB (1) zu erhalten. Die Ausgabe $\{F,G\}$ ist wieder differenzierbar $^3$ lokalen Funktional, so dass die Poisson-Klammer $\{\cdot,\cdot\}$ ist ein Produkt in der Menge der differenzierbaren lokalen Funktionale.

II) Einige physikalische Größen sind bereits lokale Funktionale $F$ , während andere lokale Funktionen sind $f(x)$ . Wie verwandeln wir eine lokale Funktion in eine lokale Funktion? Wir verwenden eine Testfunktion $\eta(x)$ . Wenn $f(x)$ eine lokale Funktion ist, definieren Sie eine entsprechende lokale Funktion als

\begin{matrix} (3) & F [η] := \int_{M} D X F (X) η (X) . \end{matrix}

$\tag{3}F[\eta]~:=~ \int_M \! dx f(x)\eta(x).$

Dann ist es bereit, in den PB (1) eingesetzt zu werden.

Verweise:

JD Brown und M. Henneaux, Über die Poisson-Klammern differenzierbarer Generatoren in der klassischen Feldtheorie, J. Math. Phys. 27 (1986) 489 .

--

$^1$ Zur Definition einer lokalen Funktion und einer lokalen Funktion siehe zB diesen Phys.SE-Beitrag und die darin enthaltenen Links.

$^2$ Die Existenz einer funktionalen Ableitung (2) einer lokalen Funktion $F$ hängt von der geeigneten Wahl der Randbedingungen ab.

$^3$ Die Differenzierbarkeit des PB (1) ist unter geeigneten Annahmen gewährleistet, vgl. Ref. 1, die wiederum auch die Jacobi-Identität für den PB diskutiert (1).

Danke für die Antwort. Wahrscheinlich vermisse ich den entscheidenden Punkt, aber Sie behaupten das $\frac{\delta F}{\delta \phi}$ ist eine lokale Funktion, kann also als Funktion von ausgedrückt werden $n+1$ Variablen (bezieht sich auf den Link, den Sie gepostet haben). Andererseits ist das bekannt $\frac{\delta F}{\delta \phi} = \delta(x-y)$ kann nicht als Funktion betrachtet werden (nur in bestimmten Grenzen), sodass das Problem weiterhin besteht.
@ user47224 : Die funktionale Ableitung $\frac{\delta F}{\delta \phi(y)} = \delta(x-y)$ in deinem Beispiel handelt es sich ja um eine Distribution. Ich nehme an, dass Sie nehmen $F=\phi(x)$ , die eine lokale Funktion, aber keine lokale Funktion ist.
Tut mir leid, wenn ich darauf bestehe, aber: Lass uns anrufen $\mathcal{D}$ der Raum der Testfunktionen (glatte und kompakte Unterstützung), $\mathcal{D'} =\{ f:\mathcal{D} \rightarrow \mathbb{R} \}$ sein dualer Raum. Wie man [hier] [1] sehen kann, um das Derivat einzuführen $\frac{d}{d\epsilon}|_{\epsilon = 0} F[\phi + \epsilon g]$ es ist notwendig, dass in meinem Beispiel $F:\mathcal{D}\rightarrow \mathbb{C}$ . Außerdem das Objekt $<\frac{\delta F}{\delta \phi}; . > :\mathcal{D}\rightarrow \mathbb{C}$ So $\frac{\delta F}{\delta \phi} \in D'$ [1]: de.wikipedia.org/wiki/…
dann ist die Poisson-Klammer definiert, die in der folgenden Domäne wirkt $\{ ;\} : \mathcal{D}'\times\mathcal{D}' \rightarrow \mathcal{D}'$ . Der einzige Operator (den ich kenne), der auf diese Weise wirkt, ist die Faltung $\ast$
@ user47224 : Beachten Sie, dass es sich um eine lokale Funktion handelt $f(x)$ ist auch eine Verteilung (aber nicht umgekehrt). Der Satz lokaler Funktionen kann in den Satz von Verteilungen eingebettet werden. Das funktionale Derivat $\frac{\delta F}{\delta \phi(x)}$ ist eine Verteilung, aber für ein lokales Funktional $F$ , kann diese Verteilung durch eine lokale Funktion dargestellt werden $f(x)$ .
Ok, jetzt verstehe ich deinen Punkt. Wenn ich mich nicht irre, stellt die Ortsvorschrift sicher, dass die Poisson-Klammer gut als Faltung definiert ist.

Mathematische Interpretation von Poisson-Klammern

Benutzer47224

QMechaniker

Antworten (1)

QMechaniker

Benutzer47224

QMechaniker

Benutzer47224

Benutzer47224

QMechaniker

Benutzer47224

Funktionale Derivate als Ausschüttungen

Unterschiedliche Definitionen von funktionalen Ableitungen

Funktionale Ableitung gleich der Dirac-Delta-Funktion QFT

Bild von Stützen

Wie verwandelt sich ein Lagrange-Operator mit Delta-Potential in einen Hamilton-Operator?

Die explizite Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen, die als Delta-Funktion beginnt

Bei der Ableitung von Gleichungen einer Feldtheorie partielle oder kovariante Ableitungen verwenden?

Physikalische Intuition zur Deformationsquantisierung von Poisson-Mannigfaltigkeiten

Wie würde man die Umkehrung der Dirac-Delta-Funktion berechnen?

Definition des Lagrangeoperators in der (klassischen) Feldtheorie