Ich denke, dies ist eher ein Kommentar, weil ich glaube, ich verstehe Ihre Frage nicht wirklich, aber sie ist lang, also werde ich sie als Antwort posten. Ich werde löschen, wenn es so aussieht, als wäre ich komplett auf dem falschen Weg gewesen.

Die Art und Weise, wie Sie die Frage erklären, ergibt keinen Sinn, wie ich über QFT denke.$\phi$ist ein Operatorwertfeld. Der Raum, der$\phi$operiert, ist der Hilbertraum, und wir sagen nicht wirklich, ob Raumzeitpunkte im Hilbertraum raumartig getrennt sind oder nicht, weil sie keine Raumzeitpunkte sind; sie sind Punkte im Hilbert-Raum.

Lassen Sie mich nun einige Anmerkungen zur Notation machen. Punkte im Hilbert-Raum werden normalerweise durch Kets dargestellt. Lassen Sie uns Ihre schreiben$f$Und$g$als$|f\rangle$Und$|g \rangle$. Dies ist eher die Standardnotation. Um die Operation zu schreiben$\phi$Auf einem Ket verwenden wir normalerweise eine Gegenüberstellung, also würden wir schreiben$\phi |f\rangle$. Um die Abhängigkeit von auszudrücken$\phi$auf Raumzeitkoordinaten verwenden wir Klammern. Also der Betreiber$\phi$am Raumzeitpunkt$x$geschrieben werden würde$\phi(x)$.

Die Aussage "Lokalität", an die ich gewöhnt bin (ich hätte es Kausalität genannt), ist eigentlich die Operatorgleichung$\phi(x) \phi(y) = \phi(y) \phi(x)$wann immer$x$ist raumartig von getrennt$y$. Eine andere Schreibweise der Gleichung ist$[\phi(x), \phi(y)]=0$.

Vielleicht haben Sie es mit einer komplizierteren Vorstellung von QFT zu tun$\phi$ist ein Feld an$C{^\infty _0 }_{real}$. Ist dies der Fall? Das ist der Hauptpunkt, auf den ich neugierig war.

Wie auch immer, Ihre Frage lautet, wie ich verstehe, was es bedeutet, dass zwei Raumzeitpunkte raumartig getrennt sind. Hier ist eine verwandte Frage zu dieser Website, und ich kann Sie auch auf einen Artikel auf Wikipedia verweisen. Damit zwei Punkte raumartig voneinander getrennt sind, müssen sie außerhalb des Lichtkegels des anderen liegen. Siehe die Links für weitere Details.

Wenn die Felder wirklich definiert werden sollen$C{^\infty _0 }_{real}$, dann weiß ich nicht, wie die Stützen aussehen sollen, weil ich damit keine Erfahrung habe. Ich nehme an, zu sagen, dass die Stützen raumartig getrennt sind, bedeutet nur, dass alle Punktpaare mit einem in jeder Stütze raumartig getrennt sind.

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Ok, ich habe das PDF gelesen und gesehen, was er getan hat. Er benutzt$\phi(f)$als Abkürzung für$\int \phi(x) f(x) dx$. Ich glaube, er zieht es vor, sich damit zu beschäftigen$\phi(f)$über$\phi(x)$weil er versucht, mathematisch streng zu sein, und das$\phi(f)$Notation wird für diesen Zweck bequem sein.

Jedenfalls seines$[\phi(f),\phi(g)]=0$Zustand entspricht meinem$[\phi(x),\phi(y)]=0$Zustand.

Um die Vorwärtsimplikation zu sehen, nehmen Sie$f(x')=\delta(x'-x)$Und$g=\delta(y'-y)$. Dann$f$Und$g$sind raumartig getrennt, wenn$x$Und$y$Sind. Also wenn$x$Und$y$sind dann raumartig getrennt$[\phi(f),\phi(g)]=0$, andererseits,$\phi(f)=\int \phi(x') f(x') dx'=\int \phi(x') \delta(x'-x) dx' = \phi(x)$, und ähnlich$\phi(g)=\phi(y)$. Damit haben wir das$[\phi(x),\phi(y)]=0$.

Um die umgekehrte Richtung zu erhalten, siehe das

$$[\phi(f),\phi(g)]=[\int \phi(x') f(x') dx',\int \phi(y') g(y') dy']=\int \int f(x') g(y')[\phi(x'),\phi(y')]dxdy$$ . Wenn jetzt $f$Und $g$räumlich getrennt sind, dann das erst mal so $f(x')$Und $g(y')$sind beide ungleich Null sind wann $x'$Und $y'$sind raumartig getrennt, aber dann $[\phi(x'),\phi(y')]=0$, also schließen wir das $\int \int f(x') g(y')[\phi(x'),\phi(y')]dxdy=0$. Dies beweist die andere Richtung.

Um also ein Gespür dafür zu bekommen, was er meint, reicht es aus, nur an einzelnen Stellen über den Zustand nachzudenken. Sie können den Teil der Antwort über den Änderungen lesen, um zu sehen, was es bedeutet, wenn zwei Punkte raumartig getrennt sind. Ich vermute, dass er, um mathematisch streng zu sein, das Bedingte formal in Bezug darauf angeben muss$\phi(f)$.

Nein, stellen Sie sich keine Lichtstrahlen vor. Die Testfunktion soll eine kleine Beule sein, die in der Nähe eines Ereignisses unterstützt wird.

Bei freien Skalarfeldern ist es besonders hilfreich, sich eine Testfunktion auszudenken$f(x,t) = \delta_{t_0}(t) \psi(x)$, Wo$\delta_{t_0}$ist eine glatte Annäherung an eine Delta-Funktion und$\psi$ist eine Wellenfunktion. In diesem speziellen Fall der Betreiber$\phi(f)$wirkt auf den Hilbert-Raum, indem er ein Teilchen erzeugt, dessen Wellenfunktion zur Zeit$t_0$Ist$\psi$.

Allgemeiner gesagt ist die Testfunktion eine Quelle für Ihre Felder. Dieses Prinzip hilft beim Umgang mit Eichfeldern (wo man an konservierte Ströme koppeln muss, die nicht vollständig lokalisiert werden können).