Eigenzustände eines hermiteschen Feldoperators

Betrachten Sie einen hermiteschen Feldoperator ϕ ( X ) mit befriedigenden Eigenzuständen

ϕ ( X ) | a ⟩ = a ( X ) | a ⟩
Ich versuche, das Skalarprodukt zwischen den Eigenzuständen zu bestimmen. Dazu überlege ich
⟨ β | ϕ ( X ) | a ⟩ = a ( X ) ⟨ β | a ⟩ = β ( X ) ⟨ β | a ⟩
was impliziert
[ a ( X ) − β ( X ) ] ⟨ β | a ⟩ = 0 ( 1 )
F. Was ist die Lösung dieser Gleichung?

Aus der Gleichung entnehme ich das ⟨ β | a ⟩ = 0 wann immer a ( X ) ≠ β ( X ) für alle X und daher hat es nur dann Unterstützung a ( X ) = β ( X ) . Wie kann ich das darstellen?

Ist es offensichtlich, dass dies impliziert

⟨ β | a ⟩ ∝ δ [ a ( X ) − β ( X ) ]
Diese Lösung scheint seltsam, da sie zu implizieren scheint, dass die Norm des Eigenzustands "unendlich" ist (naiv!), aber dies folgt nicht aus ( 1 ) .

Ich weiß, dass es hier viele Feinheiten gibt, wenn es um unendlich dimensionale Hilbert-Räume geht. Die Lösung kann in einer dieser Feinheiten liegen. Irgendwelche Ideen?

Ich spekuliere, dass diese Frage möglicherweise überhaupt keine mathematisch strenge Antwort hat, es sei denn, die Feldtheorie ist extrem einfach. Moralisch gesehen nicht ⟨ β | a ⟩ Die " β - a Matrixelement" der Zustandssumme (in euklidischer Signatur), da als Pfadintegral geschrieben das Skalarprodukt wäre ∫ D ϕ e − S mit den entsprechenden Randbedingungen? Als weitere Anmerkung würde ich das sagen ⟨ β | a ⟩ ∝ δ ( a − β ) Wo δ ist eine "funktionale Deltafunktion", die nur dann ungleich Null ist, wenn die Funktionen gleich sind.
Besser formuliert in 312006 .

Antworten (2)

Die Beziehung

⟨ A | B ⟩ ∝ δ ( A − B )

ist nichts Ungewöhnliches, es ist einfach eine Orthogonalitätsbedingung. Wenn die Proportionalität eine Gleichheit wäre und wir zusätzlich Vollständigkeit hätten, würde die Menge der Zustände eine orthonormale Basis bilden. Der Grund, warum die Delta-Funktion auftaucht, ist, dass Sie davon ausgehen, dass Ihr Operator ein kontinuierliches Spektrum von Eigenwerten hat.

Wir arbeiten mit einem Vektorraum, es scheint nur natürlich, dass es eine Möglichkeit geben sollte, eine Orthogonalitätsbedingung zu definieren. Die Delta-Verteilung als lineares Funktional auf dem Hilbert-Raum liefert dafür die geeignete Struktur. Wenn Sie sich Gedanken über Unendlichkeiten machen, müssen Sie zwei Dinge beachten: Formal ist die Delta-Funktion nicht wirklich unendlich, da sie streng genommen nur unter einem Integral definiert ist. Dies liegt an seiner Natur als Ausschüttung. Die andere Sache ist, dass es sowieso keine beobachtbare Größe ist: Physikalisch relevant sind Eigenwerte von Operatoren und Wahrscheinlichkeiten.

Die Schritte, die Sie bis Gl. 1 ist in der Tat ein einfacher Beweis des folgenden Satzes (der in elementaren Lehrbüchern der Quantenmechanik nachgeschlagen werden kann):

Eigenfunktionen (eines hermitischen Operators oder allgemeiner eines symmetrischen Operators auf einem trennbaren Hilbert-Raum), die zu unterschiedlichen Eigenwerten gehören, sind orthogonal.

Dies gilt immer für separable Hilbert-Räume (mit abzählbarer Basis), zB den Hilbert-Raum L 2 von quadratintegrierbaren Funktionen.

Müssen wir hier nicht eine Art manipulierten Hilbert-Raum verwenden?
Eigenzustände eines hermiteschen Feldoperators
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