Ich habe gerade angefangen, PCT, Spin and Statistics und All That zu lesen. Kann jemand erklären, warum wir Operatorwertverteilungen verwenden, um Felder zu beschreiben? Ich habe irgendwo gelesen, dass es unendlich viel Energie kosten würde, eine Observable an einem einzigen Punkt zu messen. Warum verwenden wir nicht stattdessen Funktionen aus einer Sammlung von Teilmengen (dh den offenen Mengen) des Raums für die Operatoren, um die Tatsache zu emulieren, dass Messungen normalerweise über einem bestimmten Bereich stattfinden? Mit anderen Worten, was ist die physikalische Bedeutung der Testfunktionen, die verwendet werden, um die Operatorwertverteilungen zu definieren? Sind einige dieser Funktionen nicht-physikalisch, möglicherweise zu schmal in der Breite, als dass sie gegen eine Unschärferelation verstoßen würden?
Wightmans Felder sollen die Algebra der Observablen erzeugen, die wiederum den Hilbert-Raum erzeugt, wenn sie auf einen zyklischen Vakuumvektor angewendet wird.
Wightman behandelt Felder als Verteilungen, um lästige Probleme wie die folgenden zu vermeiden: Wenn das freie Skalarfeld waren eine Funktion, das Beobachtbare würde auch als Erzeugungsoperator auf das Vakuum wirken und ein Teilchen mit einer Wellenfunktion gleich der Delta-Funktion erzeugen unterstützt bei . Aber die Wahrscheinlichkeitsinterpretation von QM macht nur Sinn, wenn solche Wellenfunktionen integrierbar sind.
Es ist auch notwendig, Felder (lokale Generatoren der Algebra von Observablen) als operatorwertige Verteilungen zu behandeln, da Sie dadurch nicht-triviale Singularitäten in den OPE-Koeffizienten erhalten können, die sogar für freie Skalarfelder in einer Dimension größer als 1 erforderlich sind. ( Die Quantenmechanik endlich vieler Koordinatenvariablen ist eine glückliche Ausnahme, alle Verteilungen lassen sich hier durch Integration gegen eine stetige Funktion approximieren befriedigend .)
Hinzu kommt die Tatsache, dass wir etwas daran koppeln müssen, um den Wert einer lokalen Observable zu messen. Solche Kopplungen stören die Feldwerte in der Nähe unseres Messortes gemäß der 2-Punkt-Funktion.
Warum verwenden wir nicht stattdessen Funktionen aus einer Sammlung von Teilmengen (dh den offenen Mengen) des Raums für die Operatoren, um die Tatsache zu emulieren, dass Messungen normalerweise über einem bestimmten Bereich stattfinden? Mit anderen Worten, was ist die physikalische Bedeutung der Testfunktionen, die zur Definition der Operatorwertverteilungen verwendet werden?
Testfunktionen verallgemeinern und mildern diese Idee. (Eine Teilmenge entspricht schließlich einer Testfunktion, die den Wert 1 in der Teilmenge und 0 an anderer Stelle hat.) Sie geben Ihnen auch die Flexibilität, die Sie benötigen, um über Eichtheorien zu sprechen, bei denen Sie nur Experimente mit Stromerhaltungswerten durchführen können.