In der Quantenfeldtheorie müssen wir manchmal die "Spur" einer Verteilung nehmen , . Dies geschieht zum Beispiel, wenn wir versuchen, die Determinante eines Dirac-Operators zu erweitern
Diese Spuren sind mathematisch nicht gut definiert, weil sie divergent sind. Ein einfaches Beispiel wäre die Verteilung , dessen Spur angenommen wird . Irgendwie kommen die Physiker mit diesen Unendlichkeiten davon Faktoren und bekommen trotzdem etwas Vernünftiges. In den Fällen, die ich gesehen habe, wird normalerweise angenommen, dass diese Faktoren mit dem Raumvolumen zusammenhängen, das als unendlich angenommen wird.
Da diese Objekte nicht der Trace-Klasse angehören, sind diese Berechnungen nicht unbedingt sinnvoll. Eine Spur soll den gleichen Wert haben, unabhängig davon, auf welcher Grundlage Sie sie berechnen, ebenso wie die Spur von im Ortsraum dasselbe wie im Impulsraum?
Wie nimmt man übrigens die Spur einer Verteilung wie , oder eine beliebige Anzahl von Ableitungen, die auf eine Delta-Funktion einwirken?
Mathematiker scheinen zu glauben, dass es keinen Weg gibt, aber Physiker haben Wege gefunden, vernünftige Ergebnisse zu erzielen! Es muss eine Möglichkeit geben, es richtig zu definieren, oder?
Ja, in einigen Fällen hängt die Spur mit dem Raumvolumen zusammen. Es wäre jedoch angemessener zu sagen, dass es mit der Kardinalität des Raums zusammenhängt, mit anderen Worten, mit der Anzahl der Moden im Raum. Normalerweise umgeht man das Problem der unendlichen Kardinalität, indem man die Anzahl der Modi auf eine endliche Zahl reduziert. Dies geschieht mit Hilfe irgendeiner Form von Regularisierung. Die Mengen, die unendlich gewesen wären, werden dann endlich und man kann mit der Berechnung fortfahren. Im Endergebnis würden sich diese Größen aufheben, wenn das Ergebnis eine physikalische Größe darstellt. Wenn sie dies nicht tun, bedeutet dies normalerweise, dass etwas nicht stimmt. Nachdem sie aufgehoben wurden, kann man die Regularisierung rückgängig machen, die diese Mengen unendlich gemacht hätte. Da sie weg sind, bleibt das Ergebnis endlich.
Was das alles wirklich bedeutet, ist, dass selbst wenn Sie in einem Raum arbeiten, in dem einige dieser Spuren divergieren würden, die Ergebnisse von Berechnungen für physikalische Größen, die Sie beispielsweise aus Messungen erhalten würden, immer endlich wären. Die Frage ist nur, wie man die Berechnung mit diesen Unendlichkeiten durchführt, damit sie sich aufheben. Der Grund, warum es schwierig ist, mit Unendlichkeiten zu arbeiten, liegt darin, dass sie der Kardinalarithmetik gehorchen . Die Regularisierung wandelt sie in Ordinalzahlen um, so dass man sie wie gewohnt mit Ordinalarithmetik behandeln kann. Dann, nachdem sie sich aufgehoben haben, kann man die notwendige Grenze nehmen, um die Regularisierung zu entfernen.
Ich hoffe es hilft.
wenige4
flippiefanus