Multiplizieren von Verteilungen in der Keldysh/Thermofeld-Feldtheorie bei endlicher Temperatur

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Multiplizieren von Verteilungen in der Keldysh/Thermofeld-Feldtheorie bei endlicher Temperatur

Physik
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Quantenfeldtheorie
Wärmefeldtheorie
Dirac-Delta-Verteilungen

Quantum Eyedea

In den Echtzeit-Temperaturformalismen (Schwinger-Keldysh oder Thermofeld) werden die freien Propagatoren oft mit Begriffen definiert wie:

D ich R A C D e l T A \times T H e R M A l D ich S T R ich B u T ich Ö N (| F R e Q u e N C j |)

$\mathrm{Dirac\ Delta}\ \times \ \mathrm{Thermal\ Distribution}(|\mathrm{frequency}|)$

Zum Beispiel sind in der Thermofeldtheorie die freien Propagatoren für ein echtes Skalarfeld:

- ich Δ_{11} (P; M) = \frac{- ich}{- P_{0}^{2} + | P |^{2} + M^{2} - ich ϵ} + \frac{2 π δ (- P_{0}^{2} + | P |^{2} + M^{2})}{e^{β | P_{0} |} - 1} - ich Δ_{12} (P; M) = - ich Δ_{21} (P; M) = π C S C H (\frac{β | P_{0} |}{2}) δ (- P_{0}^{2} + | P |^{2} + M^{2}) - ich Δ_{22} (P; M) = \frac{ich}{- P_{0}^{2} + | P |^{2} + M^{2} + ich ϵ} + \frac{2 π δ (- P_{0}^{2} + | P |^{2} + M^{2})}{e^{β | P_{0} |} - 1}

$- i \Delta_{11}(p;m) = \frac{-i}{-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 - i \epsilon} + \frac{2 \pi \delta(-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 )}{e^{\beta |p_0|} - 1} \\ - i \Delta_{12}(p;m) \ = \ - i \Delta_{21}(p;m) = \pi \mathrm{csch}\left( \tfrac{\beta|p_0|}{2} \right) \delta(-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2+m^2) \\ - i \Delta_{22}(p;m) = \frac{i}{-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2 + i \epsilon} + \frac{2 \pi \delta(-p_0^2 + |\mathbf{p}|^2 + m^2)}{e^{\beta |p_0|} - 1}$

Also zum Beispiel der Begriff mit der $\frac{\delta(p^2 + m^2 )}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ betrifft mich.

Der Grund, warum ich verwirrt bin, ist, dass ich über verallgemeinerte Funktionen/Verteilungen gelesen habe und eine grundlegende Tatsache über diese Objekte ist, dass Sie zwei Verteilungen nicht miteinander multiplizieren können (dh das Multiplizieren von zwei Verteilungen ergibt keine wohldefinierte Verteilung).

Der $\delta$ ist offensichtlich eine Distribution und da haben wir einen absoluten Balken drauf $|p_0|$ im $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ Ich nehme an, dass dies auch eine Verteilung ist?.

Verstehe ich die Bedeutung von $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ ? Welche Bedeutung haben die obigen Propagatoren im Sinne von Distributionen?

Antworten (2)

Multiplizieren von Verteilungen in der Keldysh/Thermofeld-Feldtheorie bei endlicher Temperatur

AccidentalFourierTransform · Answer 1

Zwei Anmerkungen:

Grundsätzlich kann jede Funktion als Verteilung betrachtet werden, obwohl die Umkehrung nicht gilt. In diesem Sinne kann man das durchaus betrachten $(e^{\beta |p_0|} - 1)^{-1}$ als Ausschüttungen. Verteilungen dieser Art werden als reguläre Verteilungen bezeichnet . Unregelmäßige Verteilungen werden als singuläre Verteilungen bezeichnet .
Es stimmt nicht, dass man Verteilungen nicht multiplizieren kann. Beispielsweise ist die Multiplikation regulärer Verteilungen trivial – Sie multiplizieren einfach ihre zugehörigen Funktionen, was eine perfekt definierte Operation ist.

Eine etwas weniger triviale Aussage betrifft singuläre Verteilungen. Sie können die mit regelmäßigen Verteilungen gut multiplizieren (es sei denn, die regelmäßige Verteilung ist zu wild, in diesem Fall müssen Sie darauf bestehen, dass die Singularitäten der ersteren nicht mit den Singularitäten der letzteren übereinstimmen). Genau das ist bei Ihren Propagatoren der Fall, und ich lade Sie ein, darüber nachzudenken, ob die Singularitäten der Objekte, mit denen Sie arbeiten, übereinstimmen oder nicht. Sie sollten sich davon überzeugen können, dass dies nicht der Fall ist, und daher sind die Multiplikationen alle wohldefiniert.

Schließlich betrifft eine viel weniger triviale Aussage das Produkt zweier singulärer Verteilungen. Wenn ihre singulären Träger disjunkt sind, ist ihre Multiplikation vollkommen wohldefiniert und trivial zu implementieren. Wenn sich ihre einzelnen Stützen überlappen, werden die Dinge interessanter. In einigen Fällen können Sie singuläre Verteilungen mit nicht disjunkten singulären Trägern multiplizieren, und manchmal nicht. Die Details hängen davon ab, wie schnell die Verteilungen im Fourier-Raum zerfallen; Um diese Tatsachen zu formalisieren, führte Hörmander den sogenannten Wellenfrontsatz ein . Wir werden dies hier nicht diskutieren.

QMechaniker · Answer 2

In Bezug auf das explizite Beispiel von OP

\begin{matrix} (D) & \frac{δ (P^{2} + M^{2})}{e^{β | P_{0} |} - 1}, β \neq 0. \end{matrix}

$\frac{\delta(p^2 + m^2 )}{e^{\beta |p_0|} - 1} , \qquad\beta\neq 0. \tag{D}$

Der massive Fall $m\neq 0$ . Dann die Singularität von $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}$ überschneidet sich nicht mit der Unterstützung von $\delta(p^2 + m^2 )$ , also ist die Produktverteilung mathematisch wohldefiniert.
Der masselose Fall $m=0$ . Dann die Verteilung (D) [und schon $\delta(p^2)$ selbst!] sind per se mathematisch schlecht definiert. Heuristisch (D) kann umgeschrieben werden als
$\begin{matrix} (D') & \frac{1}{e^{β | P_{0} |} - 1} \frac{1}{2 | P_{0} |} \sum_{\pm} δ (P_{0} \pm | P |), \end{matrix}$ $\frac{1}{e^{\beta |p_0|} - 1}\frac{1}{2|p_0|} \sum_{\pm}\delta(p_0 \pm |{\bf p}| ),\tag{D'}$ die einen Doppelpol an hat $p_0=0$ . Somit macht (D) nur Sinn für Testfunktionen, die eine entsprechende Doppelnull bei haben $p_0=0$ .

Danke für deine Antwort. Im Falle $\beta \neq 0$ Und $m=0$ es scheint so $\delta(p^2)$ hat eine Singularität bei $p_0 = \mathbf{p}$ Und $\frac{1}{e^{\beta|p_0|} - 1}$ hat eine Singularität bei $p_0 = 0$ . Diese fallen zusammen, wenn Sie senden $\mathbf{p} \to \mathbf{0}$ . Bedeutet dies, dass masselose Theorien schlecht definiert sind?
Könnten Sie Ihren Kommentar erweitern $\delta(p^2)$ selbst schlecht definiert sein? Bedeutet dies, dass es immer so verstanden werden muss $\frac{\delta(p_0-|\mathbf{p}|)+\delta(p_0+|\mathbf{p}|)}{2|p_0|}$ und so müssen Testfunktionen daherkommen, die eine einzige Null bei haben $p_0 =0$ (Ich verstehe das so, dass die Testfunktion $\phi$ muss aussehen $\sim p_0 + \mathscr{O}(p_0^2)$ nahe $p_0 =0$ )?

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