Erklärung des kausalen Vollendungsaxioms in Haag-Kastler-Axiomen?

Question

Erklärung des kausalen Vollendungsaxioms in Haag-Kastler-Axiomen?

Daniel Ranar

Es gibt mehrere Varianten der Haag-Kastler-Axiome für die algebraische Quantenfeldtheorie. Meist assoziiert man eine Algebra $\mathcal{A}(O)$ zu jeder offenen Region $O$ der Raumzeit. Ein oft vorgeschlagenes Axiom ist, dass die mit einer Region verbundene Algebra dieselbe ist wie die mit ihrer kausalen Vervollständigung verbundene Algebra. Um genau zu sein: Lassen Sie die kausale Ergänzung $O'$ einer Raumzeitregion $O$ sei die Menge der Punkte, die von allen Punkten in raumartig getrennt sind $O$ . Dann $O''=(O')'$ wird die kausale Vervollständigung genannt, und das fragliche Axiom besagt Axiom

EIN (Ö^{″}) = EIN (Ö) .

$\mathcal{A}(O'')=\mathcal{A}(O).$ (Siehe zum Beispiel Haag, „Local Quantum Physics“, Equation III.1.10.) Wegen widersprüchlicher Terminologie nenne ich dies einfach das kausale Schatten-Axiom.

Kann man eine ausführlichere Erklärung/Intuition für das Kausalschatten-Axiom liefern oder zeigen, dass es für die freie Skalarfeldtheorie gilt?

In einigen Präsentationen – einschließlich, wie es scheint, dem ursprünglichen Haag-Kastler-Papier – machen die Autoren eine alternative Aussage:

EIN (D (Ö)) = EIN (Ö),

$\mathcal{A}(D(O))=\mathcal{A}(O),$ wo

D (O)

$D(O)$ ist der „Abhängigkeitsbereich“ oder „kausale Schatten“ von

O

$O$ , dh die Menge der Punkte

p

$p$ so dass jede unausdehnbare kausale Kurve durch

p

$p$ schneidet

O

$O$ . Dieses schwächere Axiom macht für mich mehr Sinn. (Ich denke, das Axiom der kausalen Vervollständigung impliziert das Axiom des kausalen Schattens.)

Um den Unterschied zwischen dem kausalen Schatten und der kausalen Vollendung hervorzuheben, bedenken Sie $O$ als die Vereinigung von zwei kleinen Kugeln, die an den Punkten zentriert sind $(1,0)$ und $(-1,0)$ in $(t,x)$ Koordinaten. Dann $O''$ wird ungefähr der "kausale Diamant" mit Scheitelpunkten bei sein $(\pm 1,0), (0,\pm 1)$ , aber der kausale Schatten ist viel kleiner.

Als Antwort auf Kommentare: Ein weiteres Axiom ist das Axiom der "Haag-Dualität":

EIN (Ö^{'}) = EIN (Ö)^{'},

$\mathcal{A}(O')=\mathcal{A}(O)',$ wo

A^{'}

$\mathcal{A}'$ ist der Kommutant. Da

A^{″} = A

$\mathcal{A}''=\mathcal{A}$ Für von Neumann-Algebren können Sie das Dualitätsaxiom iterieren, um zu sehen, dass es das kausale Vervollständigungsaxiom impliziert. An manchen Stellen (z. B. Haag- und Araki-Lehrbüchern) fand ich das Dualitäts-Axiom nur für den Fall, dass

O

$O$ ist ein kausaler Diamant, aber z. B. in "Introduction to Algebraic Quantum Field Theory" von Horuzhy (S. 21 und S. 48) wird die Haag-Dualität für beliebige Regionen diskutiert, was das Axiom der kausalen Vervollständigung für beliebige Regionen impliziert. Anstatt mich in einem Netz von Behauptungen zu verlieren, möchte ich lieber versuchen, das Axiom der kausalen Vervollständigung zu rechtfertigen/widerlegen, vielleicht unter Berücksichtigung des Falls einer freien Theorie.

Valter Moretti

Tatsächlich scheint das Buch zwei unterschiedliche Vorstellungen von kausaler Vervollständigung zu verwenden . In Gl. (III.1.10) (wo ein völlig irreführender Kommentar erscheint, der sich auf Abschnitt 4 bezieht) und Gl. (III.3.44) scheint die "kausale Vervollständigung" nichts als der Bereich der Abhängigkeit zu sein . Später in Sek. 4 Die kausale Vollendung ist zu verstehen als

O^{″}

@Daniel Ranard In dem kürzlich erschienenen Buch (ich bin Autor eines Kapitels) link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-21353-8 diskutiert das Einführungskapitel von K. Fredenhagen den Ansatz von Haag-Kastler und das Axiom Sie betrachten, wird wie folgt angegeben und bezieht sich auf das Netz von

C^{*}

$C^*$ -Algebren

A (O)

$A(O)$ allen begrenzten offenen Regionen zugeordnet

O

$O$ der Minkowski-Raumzeit. Wenn

O_{1} \subset O_{2}

$O_1\subset O_2$ und

O_{1}

$O_1$ enthält eine Cauchy-Oberfläche von

O_{2}

$O_2$ dann ist die Einbettung der entsprechenden Algebren ein Isomorphismus (d. h.

A (O_{1}) = A (O_{2})

$A(O_1)=A(O_2)$ ).

Antworten (1)

Erklärung des kausalen Vollendungsaxioms in Haag-Kastler-Axiomen?

Tatsächlich scheint das Buch zwei unterschiedliche Vorstellungen von kausaler Vervollständigung zu verwenden . In Gl. (III.1.10) (wo ein völlig irreführender Kommentar erscheint, der sich auf Abschnitt 4 bezieht) und Gl. (III.3.44) scheint die "kausale Vervollständigung" nichts als der Bereich der Abhängigkeit zu sein . Später in Sek. 4 Die kausale Vollendung ist zu verstehen als $O''$ was nicht mit dem Bereich der Abhängigkeit im Allgemeinen zusammenfällt.
Vielen Dank. Haag bezieht sich vielleicht irgendwie auf den Bereich der Abhängigkeit, wie Sie vorschlagen, aber viele andere Autoren führen dieses Axiom auf und meinen ganz explizit die kausale Vervollständigung, wie ich sie definiert habe - also bleibt die Frage.
Könnten Sie mir eine andere problematische Referenz geben, wo das Problem auftritt?
Nur aus dem Gedächtnis glaube ich nicht, dass die Haag-Dualität das kausale Vervollständigungsaxiom impliziert, es ist eine Art maximale Algebra, die mit dem Lokalitätsaxiom kompatibel ist
@ user39158 (Ja, die Haag-Dualität sagt, dass die Algebra der kausalen Ergänzung maximal algebrakompatibel mit der Mikrokausalität ist.) Aber ich denke, die Implikation für das Axiom der kausalen Vervollständigung ist ein einzeiliges Argument, wenn Sie glauben, dass A''=A.
Die Bedingung $A''=A$ ist grundlegend in Haags Bild, es ist die geometrische Entsprechung der von Neumann-Algebra-Struktur ...
Es ist komisch, dass mir dieses Problem mit dem Buch von Haag nie aufgefallen ist, obwohl ich das Buch (und den Autor) seit vielen Jahren kenne. Vielen Dank für Ihre Anmerkungen.
Die Haag-Dualität muss nicht nur mit Diamanten umgehen, sondern die räumlichen Abschnitte müssen ausreichend regelmäßig sein. Vor zehn Jahren habe ich einen weiteren Beweis der Haag-Dualität für die Weyl-Algebra des freien Skalarfeldes konstruiert, mit etwas schwächeren Hypothesen, aber immer bezogen auf Rauten. Ich denke nicht, dass diese Struktur (Diamanten) weggelassen werden kann ...
@ user39158 Angenommen A(Q')=A(Q)'. Wenden Sie sich an Q=O'. Dann ist A(O'')=A(O')'. Aber auch A(O')=A(O)', also ergibt die Kommutierung beider Seiten A(O')'=A(O)''=A(O). Das Zusammensetzen ergibt A(O'')=A(O).
Oh ja, in der Tat. Ich war überzeugt, dass es falsch war, aber jetzt weiß ich, warum Moretti auf Doppelkegeln bestand: Ihr Beweis erfordert, dass die Haag-Dualität für beliebige Regionen gilt.
@ValterMoretti Also denkst du im Grunde, dass das Axiom der kausalen Vervollständigung für beliebige Bereiche (wie ein offener Ball) falsch ist, und Haag meinte den Bereich der Abhängigkeit?
@Daniel Ranard In dem kürzlich erschienenen Buch (ich bin Autor eines Kapitels) link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-21353-8 diskutiert das Einführungskapitel von K. Fredenhagen den Ansatz von Haag-Kastler und das Axiom Sie betrachten, wird wie folgt angegeben und bezieht sich auf das Netz von $C^*$ -Algebren $A(O)$ allen begrenzten offenen Regionen zugeordnet $O$ der Minkowski-Raumzeit. Wenn $O_1\subset O_2$ und $O_1$ enthält eine Cauchy-Oberfläche von $O_2$ dann ist die Einbettung der entsprechenden Algebren ein Isomorphismus (d. h. $A(O_1)=A(O_2)$ ).

Noix07 · Answer 1

Ich habe einen persönlichen Beweis für $D(O)= O''$ in der Minkowski-Raumzeit und ich bin sicher, dass es in allgemeineren Raumzeiten gilt ...

Notationen und Konventionen: $S\subset \mathcal M$ Teilmenge der Minkowski-Raumzeit, $\eta$ hat Signatur (+,-,-,-)

Kausalkegel J (p) := {q \in M, (q - p)^{2} \geq 0, \forall p \in S}, J (S) = ⋃_{p \in S} J (p)

$\textbf{causal cone}\qquad J(p) := \left\lbrace q\in\mathcal{M},\ (q-p)^2 \geq 0,\ \forall\ p\in S\right\rbrace,\quad J(S)= \bigcup_{p\in S} J(p)$

kausale Ergänzung S^{'} := {q \in M, (q - p)^{2} < 0, \forall p \in S} = M ∖ J (S)

$\textbf{causal complement}\qquad S' := \left\lbrace q\in\mathcal{M},\ (q-p)^2 < 0,\ \forall\ p\in S\right\rbrace = \mathcal{M} \backslash J(S)$

Man will zeigen (vgl. Kommentar, das ist nicht die richtige Def. von $D(S)$ )

Bereich der Abhängigkeit S^{″} \overset{!}{=} {q \in M, J (q) \subseteq J (S)} =: D (S)

$\textbf{domain of dependence} \qquad S'' \stackrel{!}{=} \left\lbrace q\in\mathcal{M},\ J(q) \subseteq J(S) \right\rbrace =: D(S)$

Dies kann als Äquivalenz geschrieben werden $\ J(q) \subseteq J(S) \enspace \Longleftrightarrow\enspace q\in S''$ und beachten Sie, dass jede Seite als Implikation verstanden werden kann $A\ \Rightarrow\ B$ oder mit logischen Verknüpfungen $\neg A\ \text{or}\ B$ . (dh $p\in J(q)\ \Rightarrow\ p\in J(S)$ und $p\in S'\ \Rightarrow \ (q-p)^2 <0$ )

$\underline{(\Rightarrow):}$ davon ausgehen, dass für alle $p\in \mathcal{M}$ , entweder $p\in \{q\}'\ \text{or}\ p\in J(S)$ , das prüft man $\ p\in S'\enspace\Rightarrow \enspace (q-p)^2 <0$ .

$\underline{(\Leftarrow):}$ die Kontraposition der letzten Implikation lautet $\ (q-p)^2 \geq 0 \enspace\Rightarrow \enspace \exists\ s\in S,\ (p-s)\geq 0$ .

Bemerkung: die kausale Vervollständigung zweier Punkte $p,q \in \mathcal{M},\ q\in I^+(p)$ (chronologische Zukunft) ist zwar der Doppelkegel, aber nicht der offene $I^+(p)\cap I^-(q)$ sondern eigentlich das "kausale". $J^+(p)\cap J^-(q)$

In Betracht ziehen $S= \{(0,1), (0,-1)\}$ bezogen auf Minkowski-Koordinaten $x,t$ (mit der gegebenen Reihenfolge). Was sind $D(S)$ und $S''$ ?
Mit dem Standardbegriff von $D(S)$ Das scheint mir so $D(S)=S$ . Mit Ihnen $D(S)$ ist der Diamant, der von erzeugt wird $S$ . Liege ich falsch?
Danke - ich schätze Ihre Definition des Bereichs der Unabhängigkeit, unabhängig davon
Ich muss essen, aber ich glaube, ich weiß, wo das Problem liegt: Es gibt einen Unterschied zwischen $J(q)\subseteq J(1,0) \cup J(-1,0)$ und $\exists\ p\in S,\ J(q)\subseteq J(p)$
Valter Moretti hat mit meiner Definition Recht $D(S)= S''$ was auf den ersten Blick wie die richtige Definition aussah, ist also nicht die richtige... Trotzdem wird in mehreren Büchern der Abhängigkeitsbereich oder die Cauchy-Entwicklung "aus technischen Gründen" nur für "geschlossene achronale" Teilmengen definiert, zB die Allgemeine Relativitätstheorie und die Einstein-Gleichungen, Yvonne Choquet-Bruhat, def. 11.1 S.393
In der Tat, wenn $S$ achron ist alles richtig denke ich, der punkt ist das in haag buch $S$ scheint recht allgemein zu sein, eigentlich offen, aber die Gegenbeispiele lassen sich dann leicht konstruieren...

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