Könnten wir explizite Feldableitungen in Quantenfeldtheorien loswerden?

Wenn wir zum Beispiel den folgenden Skalarfeld-Lagrangian wählen, der (hoffentlich) Lorentz-invariant ist, wo l ist aa Längenskala, und mit a ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) metrisch:

L ( X ) ∼ l − 6 ∫ D 4 j   e − j 2 l 2 ( Φ ( X + j ) Φ ( X − j ) − Φ ( X ) Φ ( X ) )

Es gibt keine expliziten Ableitungen von Feldern in diesem Ausdruck.

Natürlich, wenn wir diesen Ausdruck in Ordnungen von entwickeln l , finden wir zum Beispiel bei der ersten Bestellung (in l 0 ), ein Begriff proportional zu:

∂ ich Φ ( X ) ∂ ich Φ ( X ) .

Und natürlich finden wir Ableitungen höherer Ordnung von Feldern mit Entwicklung höherer Ordnung in l .

Der Anfangsausdruck beinhaltet jedoch keine explizite Ableitung von Feldern.

Dieses Ding ist in Ordnung, und es wird explizit in Wilsons Rev. Mod von 1974 gemacht. Phys. Abhandlung über die Renormalisierungsgruppe (im Abschnitt über die exakte Renormalisierungsgruppe). Dies geschieht normalerweise durch Beruhigung im k-Raum, nicht im x-Raum, aber was Sie tun, ist äquivalent. Dies ist eine Form der Regularisierung, und es ist im Allgemeinen die l → ∞ Grenze, an der Sie interessiert sind.
@RonMaimon: Danke für den Hinweis, ja, es ist wie eine Art Regularisierung gedacht, also denke ich, l ist eine sehr kleine Länge, wie die Planck-Länge oder so etwas, also kann es nicht sein l → ∞ . Das andere Problem ist, dass diese Art von Theorie nicht kausal zu sein scheint (siehe Bemerkung von Arnold Neumaier)
"Nicht kausal" ist nicht besonders ärgerlich, er meint, dass es zeitlich nicht lokale Wechselwirkungen gibt, aber Kausalität ist ein makroskopisches Konzept, und ein Versagen der mikroskopischen Zeitordnung ist nichts, worüber Sie sich Sorgen machen sollten, da Ihre Theorie mit a nicht physikalisch ist endlich l. Du solltest auf jeden Fall das Limit nehmen l → ∞ . Wenn Sie die Raumzeit auf irgendeine Weise diskret machen wollen, ist die richtige Regularisierung die Stringtheorie.

Antworten (2)

Natürlich kann man ableitungsfreie Lorentz-invariante Aktionen formulieren. Aber diese werden typischerweise nicht kausal sein. Dies bedeutet, dass Felder in räumlicher Entfernung typischerweise nicht pendeln, wie es für eine gute Interpretation der Felder zu einem festen Zeitpunkt erforderlich ist. Damit fehlt den Feldern eine der wichtigsten Voraussetzungen einer relativistischen QFT, die zB für gute Clustertrennungseigenschaften benötigt wird.

Außerdem ist Ihr Integral nicht einmal klassisch wohldefiniert. In der Tat, j 2 ist unten im Minkowski-Raum unbeschränkt, so dass die Exponentialfunktion explodiert. Sie müssten eine besser benommene Funktion von auswählen j 2 als Dichte.

Für den euklidischen Fall (bestimmte Metrik, O (4) -Invarianz anstelle von Lorentz-Invarianz) ist Ihre Aktion sinnvoll l > 0 . Allerdings ist fraglich, ob z l > 0 es gibt eine analytische Fortsetzung des Minkowski-Raums, da dieser bereits auf der klassischen Ebene scheitert.

Danke: Für das unbegrenzte Problem dachte ich, dass eine Wick-Rotation es löst, aber ich nehme an, ich liege falsch ... Könnten Sie mehr Details über die nicht-kausale Eigenschaft dieser Theorien geben (ich meine: Warum sind sie nicht kausal? )
Dies wird ausführlich im Kapitel über die Cluster-Zerlegung in Weinbergs Band 1 von QFT diskutiert.
Dochtrotation - vielleicht, aber Ihre Behauptung bezog sich auf den Minkowski-Raum, nicht auf den euklidischen Raum. Du solltest vielleicht präziser schreiben, was du schreibst. Das Zurückdrehen des Dochts ist das eigentliche Problem; hier wird sogar die klassische Aktion undefiniert.
OK. Danke für den Hinweis und deine letzte Bemerkung

Die Energie E eines Feldquants enthält einen Impuls P → für alle bekannten Quanten

E 2 = P → 2 + M 2
und der Impulsoperator ist eine Raumableitung − ich ∂ ∂ X → (Ich benutze Einheiten wo C = ℏ = 1 ) . Es ist wichtig und unvermeidlich, dass die Antwort "nein" ist, jede realistische QFT muss die Feldableitungen enthalten.

Nun, es gibt eine Subtilität, und die Subtilität liegt im Wort "explizit". Natürlich gibt es Feldableitungen, und tatsächlich gibt es in diesem Babymodell Ableitungen höherer Ordnung, aber in gewissem Sinne gibt es eine Art Zusammenfassung, und die Feldableitungen erscheinen nicht explizit in der Formel, aber natürlich sind sie es hier implizit.
@Trimok: Genau genommen gibt es in Ihrem Modell keine Ableitung. Für eine regelmäßige Funktion F ( X ) seine Argumentverschiebung kann symbolisch dargestellt werden als F ( X + j ) = e X P ( j ∇ ) F ( X ) in der Tat, aber ein endlicher Unterschied ist ein endlicher Unterschied.
Könnten wir explizite Feldableitungen in Quantenfeldtheorien loswerden?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v