Hat die Regelmäßigkeit von Verteilungen etwas mit der Eindeutigkeit ihres Produkts zu tun?

Kürzlich habe ich einige Literatur zur kausalen Störungstheorie (CPT) durchgesehen. Bekanntlich befasst es sich mit UV-Divergenzen in der QFT, indem Produkte von (operatorbewerteten) Verteilungen rigoros definiert werden.

Jetzt bin ich verwirrt, ob die Regelmäßigkeit zweier Verteilungen ausreichen würde, um ihr Produkt global zu definieren. Zwei Anmerkungen:

  • im Artikel http://arxiv.org/abs/1404.1778 , pg. 4 gibt es einen Satz, dass bei zwei Verteilungen mit disjunkten singulären Trägern ihr Produkt wohldefiniert ist; eindeutig wäre es für alle regulären Distributionen definiert, da ihre singulären Supps leer sind;
  • jedoch ein Beispiel für 1 X regelmäßig zu sein, definiert nicht, dass es quadratisch ist 1 X als Verteilung auf alle Testfunktionen.

Was geht hier vor sich?

In dem von Ihnen zitierten Artikel gibt es eine Definition des Produkts (Seite 6), die mit dem von Ihnen zitierten Theorem kohärent ist, aber die Definition des Produkts einiger Verteilungen mit sich selbst ermöglicht. Insbesondere ergibt es das Produkt von zwei θ Funktionen, und von zwei 1 X + ich 0 + . Aber nicht von zwei δ Funktionen oder von 1 X + ich 0 + mit 1 X − ich 0 + . Danach wird der Hormander-Begriff der Wellenfrontmenge eingeführt, der es ermöglicht, das Produkt auf eine andere Art und Weise zu definieren, und es gibt Theoreme und viele Beispiele dazu.
@yuggib danke für Anmerkungen; jetzt scheint mir, dass mich der Ausdruck "wohldefiniert" verwirrt hat, der wahrscheinlich nicht als "auf allen Testfunktionen definiert" angesehen werden sollte - das wird erst nach der Durchführung einer Renormalisierung von 1 / x wahr sein

Antworten (2)

Was hier vor sich geht, ist das Beispiel, das Sie geben 1 X ist nicht regelmäßig. Der singuläre Träger ist nicht leer, er ist gleich { 0 } . Der von Ihnen erwähnte Satz gilt also nicht. Sie erhalten trivialerweise ein Element von D ' ( R ∖ { 0 } ) aber Sie müssen noch härter arbeiten, um eine Verteilung auf der ganzen realen Linie zu bekommen.

Aber 1 X ist lokal integrierbar, warum also nicht regulär?
Lokal integrierbar impliziert, dass die Integration gegen Ihre Funktion auf dem Komplement des Ursprungs eine wohldefinierte Verteilung auf der gesamten reellen Linie ergibt, nämlich ein Element von D ' ( R ) . Sie müssen jedoch die Definition der Regularität auf einigen offenen Mengen und die der singulären Unterstützung sorgfältig überprüfen. Hier ist die Verteilung auf keiner offenen Menge regulär U den Ursprung enthalten. Ansonsten für Testfunktionen mit Support in U , wäre die Verteilung gegeben durch F → ∫ F ϕ für einige C ∞ Funktion ϕ An U . Wenn dies der Fall wäre ...
...man hätte eine gebundene Konstante mal die L 1 Norm von F für Testfunktionen in einem offenen Intervall um den Ursprung herum. Dass dies unmöglich ist, lässt sich leicht erkennen, wenn man glatte Approximationen von Indikatorfunktionen mit immer kleineren Intervallen um den Ursprung nimmt.
@AbdelmalekAbdesselam Ist das so 1 X ist nicht regelmäßig bei 0 einfach weil es dort nicht definiert ist? Wenn das nicht sehr schlau ist, darf ich um eine Referenz im Sinne Ihrer Kommentare/Antwort bitten?
@krzysiekb: Ich weiß nicht, was ich sonst sagen soll. In meinen vorherigen Kommentaren habe ich das erklärt 1 / X ist nicht regulär bei 0 und ich habe sogar einen Beweis dafür skizziert.
Nur um diese Diskussion klar zu lassen, Sie haben Recht und ich akzeptiere diese Antwort. Danke!

Ich denke, Sie beziehen sich auf die Definition des Produkts von Verteilungen aufgrund von Hoermander, die auf dem Begriff der Wellenfrontmenge basiert. Das von Ihnen erwähnte Korollar hat genau diese Form: Wenn die Sigular-Unterstützungen eines Verteilungspaars einen leeren Schnittpunkt haben, dann ist ihr (Hoermander-) Produkt wohldefiniert.

Die einzigartige Unterstützung der Verteilung u ist das Komplement der Vereinigung der offenen Mengen U so dass u ( F ) = ∫ G U F D X für einige C ∞ Funktion G U und jede Testfunktion, die in unterstützt wird U .

Mit der besagten Definition ist die singuläre Unterstützung von u = 1 / X Ist 0 (obwohl ich nicht gut verstehe, wie Sie definieren u für X < 0 ). Die Folgerung gilt also nicht.

Ja, das ist wahr. Ich hatte diese Tatsachen (die auch früher von Abdelmalek Abdesselam erwähnt wurden) später akzeptiert, aber vergessen, seine Antwort als akzeptiert zu markieren ... was ich gerade getan habe. Danke!
Hat die Regelmäßigkeit von Verteilungen etwas mit der Eindeutigkeit ihres Produkts zu tun?
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