Zustandsraum interagierender Theorien

Für den einfachsten Fall der Wechselwirkung, den quadratischen, ist die Wechselwirkungsdarstellung grob gesagt die Fock-Darstellung, jedoch mit einer anderen Masse (Darstellungen mit unterschiedlichen Massen werden im zweiten Band des Reed-Simon-Buches als inäquivalent bewiesen).

Für$(\varphi^4)_3$, mit räumlichem Abschneiden$g(x)$, ist die Konstruktion etwas aufwendiger (und nachweislich unabhängig von der Wahl des räumlichen Cutoffs ).

Lassen

$$\Lambda_\sigma(g)=\bigl\lVert H_0^{-1}\textstyle\int :\varphi^4_\sigma:(x)g(x)d^2x\; \Omega\bigr\rVert\; ,$$ wo $\Omega$ist das Fock-Vakuum, $:\varphi^4_\sigma:$die Wechselwirkung mit UV-Cutoff. Es gibt eine Familie von Dressing-Transformationen $T_{\varrho\sigma}(g)$so dass für alle $\psi,\psi'\in C_0^{\infty}(N,k)$(wir bezeichnen mit $C_0^{\infty}(N,k)$die Menge endlicher Teilchenvektoren mit kompaktem Träger im Impulsraum) gibt es für jeden $\varrho,\varrho'\geq0$das Limit: $$\lim_{\sigma\to\infty}\langle T_{\rho\sigma}(g)\psi,T_{\rho'\sigma}(g)\psi'\rangle e^{-\Lambda_{\sigma}(g)}=:\langle T_{\rho\infty}(g)\psi,T_{\rho'\infty}(g)\psi'\rangle_g\; .$$ Das Skalarprodukt $\langle\cdot,\cdot\rangle_g$zusammen mit der linearen Spanne $D(g)$von $\{T_{\varrho\infty}(g)\psi, \psi\in C_0^{\infty}(N,k),\varrho\geq 0\}$ist ein Prähilbertraum, dessen Vervollständigung $F(g)$ist der trennbare Hilbert-Raum der Interaktionstheorie (mit räumlichem Cutoff). Offensichtlich ist der entsprechende LSZ-asymptotische Raum die übliche Fock-Darstellung von $H_0$.

Um einen Vergleich zwischen freier und interagierender Theorie anzustellen, können Sie Folgendes beachten. Das wird gedacht (aber meines Wissens nicht bewiesen).$F(g)$ist Nicht-Fock, dh sie ist nicht einheitlich äquivalent zu irgendeiner Fock-Darstellung (offensichtlich inäquivalent zu der ursprünglichen freien, wie von Haags Theorem vorhergesagt; jedenfalls sind, wie ich oben sagte, Fock-Darstellungen mit unterschiedlichen Massen inäquivalent). Wenn dem so ist, dann sieht man schon einen konkreten Unterschied zwischen den beiden Darstellungen, sowieso die etwas verschlungene Definition von$F(g)$hilft nicht bei einem detaillierten Vergleich (die Form der Verbandsumwandlung ist zudem recht kompliziert). Trotzdem können LSZ-Reduktionsformeln und allgemein die Streutheorie auch in diesem Zusammenhang mit Hilfe der sogenannten Haag-Ruelle-Streutheorie definiert werden; Weitere Einzelheiten sowie bibliografische Angaben finden Sie im dritten Band des Reed-Simon-Buchs.