Nimmt jemand die Wightman-Axiome ernst? [abgeschlossen]

Die Frage klingt wie die folgende Frage für einen klassischen Physiker: Nimmt irgendjemand die Lagrange-Mechanik ernst?

Wightman-Axiome beschreiben qft, wie es innerhalb eines bestimmten Paradigmas sein sollte, unter der Annahme, dass einige grundlegende Schwierigkeiten, die das perturbative qft betreffen, auf irgendeine Weise gelöst werden können (ohne jedoch eine Lösung vorzuschlagen). Es stellt nur die endgültige Theorie dar, ich meine, die Wechselwirkungen einbezieht, wie es aus dieser Sicht sein sollte. Es gibt jedoch keine Garantie dafür, dass es sich um ein richtiges und vollständiges Bild der Welt handelt. Insbesondere, weil die erwähnten Schwierigkeiten ein Hinweis auf neue Physik wie die Stringtheorie oder andere Strukturen sein könnten und wahrscheinlich sind, die bei sehr hoher Energie oder sehr kleinen Skalen relevant sind. Darüber hinaus ist die Beschreibung von Eichtheorien innerhalb der Wigthman-Formulierung keineswegs einfach. Dennoch steht dieser Ansatz als mathematisch solider Rahmen, in dem Beweise für physikalisch fundamentale Aussagen von qft rigoros aufgebaut wurden. Ich meine, zum Beispiel Spin-Statistik-Theorem, cpt-Theorem und so weiter. Dies bedeutet jedoch nicht, dass sich diese Ergebnisse nicht auch aus anderen Formulierungen ergeben würden, die auf einer anderen Physik beruhen. Ich denke, dass Wightman-Axiome in Bezug auf die "echte" klassische Physik als Lagrange-Mechanik angesehen werden können. Die Lagrange-Formulierung ist ein Modell, mit dem einige wichtige Beziehungen zwischen entscheidenden Begriffen analysiert werden können, ich denke zum Beispiel an das Zusammenspiel zwischen Erhaltungsgrößen und Symmetrien. Auf der anderen Seite ist jedoch klar, dass die Lagrange-Formulierung zu physikalisch naiv ist, da sie beispielsweise Kräfte aufgrund von Reibung nicht richtig berücksichtigt, die die Existenz einer anderen Ebene der Realität offenbaren (ich meine Thermodynamik und mikroskopische Physik ... Es geht davon aus, dass physikalische Objekte durch Differentialgeometrie abgebildet werden, ohne Rücksicht auf die diskreten mikrophysikalischen Strukturen ...). Der Kern von Garding Wightman Streaters Formulierung hat andere Formulierungen von qft hervorgebracht, die auf dem Begriff des lokalen Feldes bestehen. Ein Lehrbuch über diese Ideen ist das von Haag. Diese Ideen wurden implementiert, um qft in der gekrümmten Raumzeit zu entwickeln, insbesondere mit Anwendung auf die Physik der Schwarzen Löcher und kürzlich auf die Kosmologie. Ich gehöre zu dieser Gemeinschaft mathematischer Physiker. Das uv-renormierte Verfahren wurde in gekrümmter Raumzeit vollständig in einen allgemein kovarianten Rahmen umformuliert, ohne die Existenz eines bevorzugten Vakuums angesichts des Fehlens der Poincare-Symmetrie anzunehmen. Der Kern von Garding Wightman Streaters Formulierung hat andere Formulierungen von qft hervorgebracht, die auf dem Begriff des lokalen Feldes bestehen. Ein Lehrbuch über diese Ideen ist das von Haag. Diese Ideen wurden implementiert, um qft in der gekrümmten Raumzeit zu entwickeln, insbesondere mit Anwendung auf die Physik der Schwarzen Löcher und kürzlich auf die Kosmologie. Ich gehöre zu dieser Gemeinschaft mathematischer Physiker. Das uv-renormierte Verfahren wurde in gekrümmter Raumzeit vollständig in einen allgemein kovarianten Rahmen umformuliert, ohne die Existenz eines bevorzugten Vakuums angesichts des Fehlens der Poincare-Symmetrie anzunehmen. Der Kern von Garding Wightman Streaters Formulierung hat andere Formulierungen von qft hervorgebracht, die auf dem Begriff des lokalen Feldes bestehen. Ein Lehrbuch über diese Ideen ist das von Haag. Diese Ideen wurden implementiert, um qft in der gekrümmten Raumzeit zu entwickeln, insbesondere mit Anwendung auf die Physik der Schwarzen Löcher und kürzlich auf die Kosmologie. Ich gehöre zu dieser Gemeinschaft mathematischer Physiker. Das uv-renormierte Verfahren wurde in gekrümmter Raumzeit vollständig in einen allgemein kovarianten Rahmen umformuliert, ohne die Existenz eines bevorzugten Vakuums angesichts des Fehlens der Poincare-Symmetrie anzunehmen. Ich gehöre zu dieser Gemeinschaft mathematischer Physiker. Das uv-renormierte Verfahren wurde in gekrümmter Raumzeit vollständig in einen allgemein kovarianten Rahmen umformuliert, ohne die Existenz eines bevorzugten Vakuums angesichts des Fehlens der Poincare-Symmetrie anzunehmen. Ich gehöre zu dieser Gemeinschaft mathematischer Physiker. Das uv-renormierte Verfahren wurde in gekrümmter Raumzeit vollständig in einen allgemein kovarianten Rahmen umformuliert, ohne die Existenz eines bevorzugten Vakuums angesichts des Fehlens der Poincare-Symmetrie anzunehmen.

Wightman-Axiome sind nichts anderes als die allgemeinen Merkmale, die in der Praxis der relativistischen Quantenfeldtheorie als üblich anerkannt werden. Sogar ein Praktiker verwendet die ganze Zeit Wightman-Axiome, auch wenn er sich nicht um mathematische Strenge kümmert und dazu neigt, diese Tatsache zu verbergen. Es ist jedoch klar, dass Sie nach der algebraischen Quantenfeldtheorie fragen.

Das Hauptziel von AQFT ist die Formalisierung der Eigenschaften von Quantenfeldern. Diese Aufgabe gehört streng genommen nicht in den Bereich der Physik, sondern in den Bereich der mathematischen Physik. Es ist allgemein bekannt, dass Physiker mathematische Details ignorieren, wenn sie eine funktionierende, aber schlecht definierte Theorie handhaben. Ein Beispiel ist die Erhebung der Dirac-Delta-Funktion (eigentlich eine Verteilung) und ihre Verwendung in Anwendungen lange vor der Erfindung verallgemeinerter Funktionen von Sobolev und Schwartz. Daher ist ein Physiker nicht daran interessiert, ein System von Axiomen und ihre Konsequenzen zu studieren; Alles, was er braucht, ist ein System von RegelnDank dessen ist er in der Lage, tatsächliche Berechnungen durchzuführen. Das Wort "Regel" bedeutet eine Standardvorschrift, die in besonderen Situationen modifiziert oder vernachlässigt werden kann, wenn es sinnvoll ist. Wenn es möglich ist, ist es natürlich oft praktisch, die Vorteile eines ausgefeilten mathematischen Rahmens zu nutzen, um Berechnungen durchzuführen.

Mathematiker können einen solchen Zustand nicht akzeptieren, also beschäftigen sie sich mit Grundlagen, Existenzproblemen und so weiter. Das ist Teil ihrer Arbeit und hat seinen eigenen Wert, auch wenn die Physiker es nicht ausnutzen. Manchmal kommt es jedoch vor, dass mathematische Strenge, sorgfältige Definitionen und alle möglichen mathematischen Komplikationen physikalische Notwendigkeiten sind. Im Falle der QFT ergibt sich dies, wenn man die prinzipielle Messbarkeit des elektromagnetischen Feldes betrachtet. Bohr und Rosenfeld erkannten bald, dass Quantenfelder operatorwertige Verteilungen sein müssen, um als Repräsentanten physikalischer Größen sinnvoll zu sein. Da diese Tatsache die Messbarkeit betrifft, wird sie zu einem physikalischen Problem. Physiker können also die komplizierte Natur dieser Objekte nicht ignorieren, sie können versuchen, damit zu leben, und tatsächlich wurden alle möglichen ausgefeilten Rezepte entwickelt, um solch einer schwierigen Koexistenz zu entkommen.

Dennoch gab (und gibt es teilweise) eine aktive Gemeinschaft, die versuchte, sich diesen formalen Problemen zu stellen, die aus physikalischen Gründen erzeugt und durch eine umfassende logische Behandlung der Angelegenheit angeregt wurden. Große Namen in dieser Gemeinschaft sind Wightman selbst, Rudolf Haag, Araki, Borchers, Sergio Doplicher, Robert Powers, Fredenhaghen, Daniel Kastler, Buchholz, Ostenwaald, Baumann usw. Viele allgemeine Ergebnisse wurden begründet und eine gute Anzahl von Paradoxen von QFT wurden dank dieser sorgfältigeren Behandlung gelöst. Unter ihnen (in groben Zügen):

• die Existenz der freien Felder;
• das PCT-Theorem;
• die führende Rolle des Prinzips der Lokalität;
• allgemeine Zusammenhänge zwischen Spin und Statik;
• eine schwache Form eines Noether-Theorems für Quantenfelder;
• allgemeine Formen für das Goldstone-Theorem;
• die Beziehungen zwischen Feldern, beobachtbaren und Pegelgruppen;
• jede kompakte Gruppe ist eine Eichgruppe;
• das Reeh-Schlieder-Theorem (informell Zustandsdichte, die durch die Wirkung der lokalen Observablen auf das Vakuum im Hilbert-Raum der Theorie erzeugt wird)

usw. Zusammenfassend wurde eine gute Fülle von Ergebnissen erzielt. Das ist natürlich noch nicht alles: Viele andere Dinge fehlen, zunächst einmal weiß niemand, ob Wechselwirkungsfelder im eigentlichen Sinne existieren. Eine Theorie ohne Wechselwirkung kann nicht physikalisch sein, daher wird AQFT von Physikern immer als eine Art Kuriosität angesehen. Dennoch hat die Entwicklung von AQFT viele andere Forschungsgebiete angeregt, sowohl in der Mathematik als auch in der Physik. Heutzutage hat sich der Trend geändert und eine kleine Leidenschaft überlebt um diese Themen herum. Menschen, die in der Vergangenheit auf diesem Gebiet gearbeitet haben, leisten normalerweise weiterhin Beiträge, aber eine kleinere Anzahl neuer Forscher schließt sich diesem Weg an, da sie von anderen Bereichen wie Quantengravitation, Strings, Teilchenphysik, Phänomenologie usw. angezogen werden.

Ich bin mir vollkommen bewusst, dass die Frage, ob jemand Wightmans (und Gårdings) Axiome ernst nimmt oder nicht, vor vielen Jahren aus verschiedenen Perspektiven beantwortet wurde.

Dennoch möchte ich hier eine Sichtweise bekräftigen, nämlich dass die Axiome nicht als Axiome im Sinne von Grundprinzipien zu verstehen sind oder den gleichen Stellenwert haben wie zB das Relativitätsprinzip und das Prinzip der Ausbreitung von Lichtsignalen im Vakuum. Vielmehr sind die Wightman-„Axiome“ ein Ausgangspunkt für weitere Untersuchungen der QFT, wenn die Hintergrundstufe für die Felder flach oder gekrümmt ist und die „Axiome“ daher eher den Status einer Grundlage haben, die noch in Arbeit ist und daher technische Aspekte sind Änderungen vorbehalten. Diese Ansicht war in der Tat sehr nützlich für Praktiker (mich eingeschlossen), die auf der Grundlage dieser grundlegenden „Axiome“ tiefe Einblicke in viele faszinierende Fragen geben konnten. Eine solche Frage ist, ob eine technologisch fortgeschrittene Zivilisation möglicherweise in der Lage wäre, eine Zeitmaschine herzustellen. Hier gibt es sowohl ein allgemeines No-Go-Theorem als auch Beispiele und Erweiterungen, bei denen Quantenfelder sowohl auf gekrümmten als auch auf flachen Raumzeiten von Zeitmaschinen untersucht werden, und alle diese Ergebnisse beruhen auf dem Erbe von Wightman und Gårding. Diese Ansicht zeigt sich auch in Haags, 1992, „Local Quantum Physics“, Springer, wo er in Bezug auf die „Axiome“ bemerkt: „Das Wort „Axiom“ suggeriert etwas Festes, Unveränderliches. Das ist hier sicher nicht beabsichtigt. Tatsächlich sind einige der Annahmen eher technisch und sollten durch natürlichere ersetzt werden, wenn tiefere Einblicke gewonnen werden.“ Beispiele und Erweiterungen, bei denen Quantenfelder sowohl auf gekrümmten als auch auf flachen Zeitmaschinen-Raumzeiten untersucht werden und all diese Ergebnisse auf dem Erbe von Wightman und Gårding beruhen. Diese Ansicht zeigt sich auch in Haags, 1992, „Local Quantum Physics“, Springer, wo er in Bezug auf die „Axiome“ bemerkt: „Das Wort „Axiom“ suggeriert etwas Festes, Unveränderliches. Das ist hier sicher nicht beabsichtigt. Tatsächlich sind einige der Annahmen eher technisch und sollten durch natürlichere ersetzt werden, wenn tiefere Einblicke gewonnen werden.“ Beispiele und Erweiterungen, bei denen Quantenfelder sowohl auf gekrümmten als auch auf flachen Zeitmaschinen-Raumzeiten untersucht werden und all diese Ergebnisse auf dem Erbe von Wightman und Gårding beruhen. Diese Ansicht zeigt sich auch in Haags, 1992, „Local Quantum Physics“, Springer, wo er in Bezug auf die „Axiome“ bemerkt: „Das Wort „Axiom“ suggeriert etwas Festes, Unveränderliches. Das ist hier sicher nicht beabsichtigt. Tatsächlich sind einige der Annahmen eher technisch und sollten durch natürlichere ersetzt werden, wenn tiefere Einblicke gewonnen werden.“

Sie haben die Meinung eines mathematischen Physikers gehört, dh einer Person, die in einer mathematischen Fakultät arbeitet und sich in die Physik wagt , nämlich VM. Hier ist meine 2-Cent-Ansicht als Physiker. In einem seiner berühmten Vorträge (siehe Deser , Bd. II) erinnert sich Rudolf Haag: „Folgende Geschichte wurde mir berichtet. Vor einigen Jahren hielt Klaus Hepp einige Vorträge in der Sommerschule Brandeis. Irgendwann lobte er die Schönheit der axiomatischen Feldtheorie. Am nächsten Tag fand er an der Tafel die Notiz: "Axiom 1: Axiomatische Feldtheorie ist auf eine leere Art und Weise schön."

Sicher, für Mathematiker ist es ein Brot zum Essen, da sie das, was ihnen die Physiker als physikalische Intuition gegeben haben, ständig auf immer abstraktere Weise umformulieren. Die Lagrange-Theorie der klassischen Physik jedoch mit Wightmans Axiomen zu vergleichen und zu sagen, dass sie auf derselben Grundlage stehen, ist eine große Übertreibung. In der Tat gibt es in der Lagrange-Mechanik ein dynamisches Evolutionsprinzip, während es in Wightmans Axiomen keines gibt. Zu sehen, wie schlimm die Situation ist, ist, als hätte man alle Newtonschen Gesetze OHNE DAS ZWEITE, dh F=MA. Oder, wenn man zu Quanten geht, ist es so, als hätte man alle Postulate der nicht-relativistischen QM ohne die Schrödinger-Gleichung oder Heisenbergs Bewegungsgleichungen. Alles, was Sie berechnen können, sind offensichtlich nur statische Probleme, wie die berühmten Spin-Statistiken und cpt-Theoreme in AQFT.

Darüber hinaus ist es Mathematikersprache, darüber zu sprechen, dass Reibungskräfte nicht von der Lagrange-Mechanik oder Thermodynamik "bedeckt" werden. ES GIBT KEINE FUNDAMENTALEN REIBUNGSKRÄFTE ZU BEGINN. Alles, was es gibt, ist disipative Dynamik für ein gegebenes System in Wechselwirkung mit einem anderen System. Nimmt man beides zusammen, bleibt alles erhalten! Reibung und Thermodynamik sind PHÄNOMENOLOGISCHE THEORIEN, keine GRUNDLEGENDEN! Nehmen Sie zum Beispiel ein "Reibungsproblem". Alle Wechselwirkungen zwischen zwei Körpern, die gegeneinander gleiten, sind im Wesentlichen elektromagnetisch, und Sie können wirklich ein mikroskopisches Modell BASIEREND AUF DER LAGRANGIANISCHEN THEORIE entwickeln und es mit Experimenten vergleichen.

Um auf AQFT zurückzukommen, außer statischen Problemen können Sie wirklich nichts berechnen. Keine Zahl, die mit dem Experiment verglichen werden kann. Sogar die Beschreibung der Streuung in der berühmten Haag-Ruelle-Streuungstheorie ist NICHT VOLLSTÄNDIG IM HEISENBERG-BILD von AQFT FORMULIERT, und AQFT ist berüchtigt dafür, dass sie behauptet, eine Beschreibung vollständig innerhalb des Heiseinberg-Bildes zu verwenden.

Für welche der beiden Sichtweisen Sie sich entscheiden, ist natürlich ganz Ihnen überlassen: die des Physikers Rudolf Haag oder die eines Fachschaftsmathematikers als VM ...