Physikalische Intuition zur Deformationsquantisierung von Poisson-Mannigfaltigkeiten

Zunächst einmal habe ich fast keine Ahnung von Physik. Ich habe Kontsevichs Artikel über die Deformationsquantisierung von Poisson-Mannigfaltigkeiten gelesen, konnte jedoch nicht herausfinden, was die Intuition für eine solche Operation ist.

Warum gibt es das Wort "Quantisierung" und die Planck-Konstante im Sternprodukt ? Wo ist die Physik in solch einer formalen Deformation der Algebra A = C ∞ ( M ) ?

Tatsächlich ist das Einzigartige, was ich verstehen kann, der Teil "Verformung", da es (wenn ich mich nicht irre) wie eine Verformung von aussieht A entlang der 2-cocycle { ⋅ , ⋅ } des Hochschild-Cochain-Komplexes .

Eine andere Sache, die ich nie verstanden habe: Warum wird die Verformung nur in den globalen Abschnitten und nicht in der gesamten Garbe durchgeführt? C ∞ ?

Vielleicht hilft dieser Aufsatz von Catteneo und Felder. arxiv.org/abs/math/9902090

Antworten (1)

Quantisierung bedeutet üblicherweise die Zuordnung eines Hilbert-Raums zum klassischen Phasenraum (in unserem Fall eine Poisson-Mannigfaltigkeit). Bei der Deformationsquantisierung wird diese Aufgabe jedoch indirekt gelöst, zunächst durch die Konstruktion eines Assoziativs C ∗ Algebra, in diesem Fall die deformierte Algebra der Funktionen, ausgestattet mit einem Sternprodukt, das als assoziatives Produkt der dient C ∗ Algebra. Diese Algebra ist abhängig von einem formalen Parameter ℏ . Einmal ein Assoziativ C ∗ Algebra konstruiert ist, kann im Prinzip eine Hilbert-Raum-Darstellung konstruiert werden C ∗ algebraische Techniken wie die GNS-Konstruktion. Siehe zum Beispiel den folgenden Artikel von Stefan Waldmann.

Die Motivation der Verformungsquantisierung besteht darin, dass in vielen physikalischen Modellen die Taylor-Reihe in Bezug auf die Plancksche Konstante verwendet wird ℏ gibt eine brauchbare Deformationsquantisierung. Der Prototyp eines explizit bekannten Star-Produkts, dessen Taylor-Serie in ℏ definiert eine Deformationsquantisierung ist das Moyal-Produkt auf R 2 N . Außerdem gibt es das Gutt-Star-Produkt zu den Dualen von Lie-Algebren, siehe den folgenden Artikel von Monvel . Es gibt auch die Wick- und Anti-Wick-Sternprodukte und ihre Verallgemeinerungen in der Berezin-Quantisierung von Kähler-Mannigfaltigkeiten. Siehe zum Beispiel diesen Artikel von Bordemann, Brischle, Emmrich, Waldmann. Eine andere bekannte Konstruktion geometrischen Ursprungs ist das Fedosov-Sternprodukt, siehe die folgende Philip Tillman - These von .

Der Hoschild-Abschluss der Deformationsketten wird benötigt, um die Assoziation des Sternprodukts zu gewährleisten, siehe den folgenden Artikel von: McCurdy und Zumino (obwohl ein Sonderfall behandelt wird, aber die Beziehung zwischen Abschluss und Assoziation geklärt wird).

Beim Bau von Kontsevich müssen die Abschnitte global sein, da der Bau lokal für durchgeführt wurde R D , und es besteht die Notwendigkeit, zu einer allgemeinen Poisson-Mannigfaltigkeit zu globalisieren.

Ich habe Ihrer Antwort +1 gegeben, aber das Zitat von McCurdy und Zuminos Artikel ist unvollständig ... meinten Sie arxiv.org/abs/0910.0459 oder einen anderen Artikel?
Danke für die Antwort. Allerdings konnte ich Ihre Begründung dafür, dass Sie nur die globalen Abschnitte betrachten, nicht nachvollziehen. Wenn man beispielsweise die Verformung komplexer Mannigfaltigkeiten betrachtet, wird die Verformung in jedem Diagramm durchgeführt, daher erfolgt die Verformung in jedem offenen Satz (oder mir fehlt etwas). Sie haben auch zitiert, dass sich einige physikalische Modelle mit der Taylor-Erweiterung in Bezug auf die Planck-Konstante befassen. Könnten Sie bitte ein Beispiel zeigen?
@ user40276 - 1) Ich habe ein paar Beispiele für explizit bekannte Star-Produkte hinzugefügt. 2) Betrachten Sie zum Beispiel Vektorfelder, die als Differentialoperatoren auf jedem Diagramm realisiert werden können, aber nicht jeder Satz von Differentialoperatoren, der auf jedem Diagramm definiert ist, ist ein Vektorfeld. Nur in den Fällen, in denen diese Differentialoperatoren die richtigen Transformationseigenschaften erfüllen, machen die Überlappungen sie zu Vektorfeldern, dh, wenn sie globale Schnitte sind T M .
Danke für die hinzugefügten Informationen und Entschuldigung für mein Beharren, aber ich verstehe nicht, wo die Physik in solchen Modellen ist. Anscheinend ist alles eine Art Verallgemeinerung der Weyl-Quantisierung (korrigieren Sie mich bitte, wenn ich falsch liege), also sollte ich vielleicht eine andere Frage zur Weyl-Quantisierung stellen.
Physikalische Intuition zur Deformationsquantisierung von Poisson-Mannigfaltigkeiten
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