Physikalische Interpretation der Unterschiede zwischen klassischer und Quanten-Ensemble-Dynamik

Cosmas Zachos hat bereits eine nette Antwort gegeben. Er weist zu Recht darauf hin, dass die Sinusfunktion in der$\star$-Kommutator entsteht aus der Exponentialfunktion in der$\star$-Produkt.

Frage: Aber warum dann die Exponentialfunktion?

Antwort: Betrachten Sie folgenden Ansatz$^1$für die$\star$-Produkt:

$$\star~=~f\left( \stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial} \right),\tag{1}$$ Wo $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ist eine allgemeine (hinreichend schöne) Funktion. Das wollen wir beweisen $f$muss eine Exponentialfunktion sein.

In Gl. (1) Wir haben die Notation verwendet$\partial_I\equiv \frac{\partial}{\partial z^I}$, wo die Koordinaten$z^I$sind die Phasenraumvariablen. Wenn

$$\alpha~=~\sum_I\alpha_I\mathrm{d}z^I\qquad\text{and}\qquad \beta~=~\sum_I\beta_J\mathrm{d}z^J\tag{2}$$ Einsformen sind, dann ist die Konstante (= $z$-unabhängig) Poisson-Struktur ist $$\alpha \wedge\beta~=~\sum_{IJ}\alpha_I\omega^{IJ}\beta_J ~\in~\mathbb{C}.\tag{3}$$

Übung: Beweisen Sie das

$$e^{\alpha\cdot z} \star e^{\beta\cdot z} ~=~f\left(\alpha \wedge\beta\right)e^{(\alpha+\beta)\cdot z}. \tag{4}$$

Als nächstes verwenden wir das$\star$-product sollte assoziativ sein . Insbesondere sollte es das halten

$$\left(e^{\alpha\cdot z} \star e^{\beta\cdot z}\right)\star e^{\gamma\cdot z}~=~e^{\alpha\cdot z} \star \left(e^{\beta\cdot z}\star e^{\gamma\cdot z}\right). \tag{5}$$ Gl. (4) & (5) implizieren das $$f\left(\alpha \wedge\beta\right) f\left((\alpha+\beta) \wedge\gamma\right) ~=~f\left((\alpha\wedge(\beta+\gamma)\right) f\left(\beta\wedge\gamma\right), \tag{6}$$ oder gleichwertig $$f(t)f(r+s)~=~f(t+s)f(r), \qquad r,s,t\in\mathbb{C}.\tag{7}$$ Jetzt setzen $t=0$: $$f(0)f(r+s)~=~f(s)f(r), \qquad r,s\in\mathbb{C}.\tag{8}$$ Die Lösungen der Funktionsgleichung (8) sind bekanntlich die Exponentialfunktionen! (Umgekehrt kann man zeigen, dass jeder $\star$-Produkt auf Exponentialform sind assoziativ.) Wenn wir außerdem das Korrespondenzprinzip auferlegen $$\star~=~1 ~+~ \frac{i\hbar}{2}\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial} ~+~ {\cal O}(\hbar^2) \tag{9}$$ zwischen klassischer & Quantenmechanik, dann die $\star$-Produkt (1) ist eindeutig durch die Groenewold-Moyal-Formel gegeben $$\star~=~\exp\left(\frac{i\hbar}{2}\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial}\right).\tag{10}$$ $\Box$

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$^1$In dieser Antwort betrachten wir nur konstante (=$z$-unabhängige) (möglicherweise entartete) Poisson-Strukturen. Wir sollten betonen, dass es sogar innerhalb der Klasse konstanter Poisson-Strukturen viele gibt$\star$-Produkte, die nicht in Exponentialform vorliegen und den Ansatz (1) nicht erfüllen. Lassen Sie uns auch betonen, dass für nicht konstante Poisson-Strukturen die Exponentialform der$\star$-Produkt gilt generell nicht. Für diese allgemeineren Poisson-Strukturen sollte man die Fedosov- oder Kontsevich-Quantisierung verwenden, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag.

Ehrlich gesagt bin ich verwirrt darüber, warum Sie vermuten, dass Sie in diesem Bild auf QM-Interpretationen zurückgreifen müssen; aber Ihre beiden umschriebenen Fragen sind beantwortbar.

1. Kein physikalischer Grund – nur mathematische Bequemlichkeit. Siehe Lit. 1 & 2. Der Sinus ergibt sich aus der Tatsache, dass das relevante Groenewold-Sternprodukt die Exponentialfunktion des PB ist, eine Frage des Zufalls, die in die Wigner-Karte eingebaut ist und Sie von Hilbert-Raumoperatoren zu Phasenraum-C-Zahl-Variablen führt. Unter dieser Karte antisymmetrisiert der Quantenkommutator diese Exponentiale in eine Sinusfunktion von PBs. Aber andere streng mathematisch äquivalente Sternprodukte, wie das in Husimis Bild (vgl. Gl. (124) von Lit. 1), werden sehr unterschiedlichen, im Allgemeinen chaotischeren Klammern entsprechen. Sie alle dehnen sich am PB vorbei aus$O(\hbar^2)$Begriffe wie die streng Quantendeformationsmerkmale, die nur ordentliche Potenzen der Sinusentwicklung für das Groenewold-Moyal-Produkt sind ... und schreckliche Durcheinander in (den meisten) anderen der halben Dutzend Bilder, die ich kenne. Es sind diese Begriffe, die die Abkehr der Dynamik von klassischen Strömungen spezifizieren, wie Sie vielleicht in den unterhaltsamen Filmen von Ref. 2 und verleihen QM seinen charakteristischen diffusiven und komprimierbaren Geschmack.
2. $~\hbar$ist ein dimensionsvoller Parameter und als solcher bimodal. Qualitativ gibt es zwei Fälle: Null (klassisch) und Nicht-Null (QM). Typischerweise normalisiert es die Phasenraumzellenfläche oder den PB oder ... in dimensionslose Einheiten. Das heißt, Sie beobachten seine (QM)-Effekte für Variablen$xp/\hbar$das sind ja keine riesengroßen... mikroskopische effekte wo$\hbar \partial_x \partial_p$sind nicht infinitesimal; Wenn solche Aktionsvariablen enorm sind, wie bei einer rasenden Lokomotive oder einer Mücke, sind die QM-Deformationskorrektureffekte normalerweise unsichtbar. Die tatsächliche Größe von$\hbar$nur in der Größenordnung von Objekten, die in diesen mikroskopischen Quantenbereich fallen, von Bedeutung. Vielleicht werden Sie eingeladen, sich eine größere Welt vorzustellen$\hbar$, also größerer Bohr-Radius, also größere Atome usw. Die WP-Filme würden ziemlich gleich aussehen. Der Satz von Liouville ist verletzt .

Verweise:

1. Thomas L. Curtright, David B. Fairlie und Cosmas K. Zachos, A Concise Treatise on Quantum Mechanics in Phase Space, World Scientific, 2014. Die PDF-Datei ist hier verfügbar .
2. WP-Artikel .