Was ist der intuitive Grund dafür, dass der Phasenraumfluss in der klassischen Mechanik inkompressibel, aber in der Quantenmechanik komprimierbar ist?

1. Das sogenannte (generische) Versagen des Quantensatzes von Liouville , dh die (generische) Verletzung der Kontinuitätsgleichung

   $$\rho~{\rm div}_{\rho} X^Q_{-H} + \frac{\partial \rho}{\partial t}~\neq~0 \tag{1}$$ $$\begin{align}\Leftrightarrow\qquad \frac{\partial \rho}{\partial t} ~\stackrel{(1)}{\neq}~&\rho~{\rm div}_{\rho} X^Q_H ~\stackrel{(6)+(7)}{=}~\rho~{\rm div}_{\rho} X_H \cr ~\stackrel{\text{Leibniz}}{=}& X_H[z^I] ~\frac{\partial\rho}{\partial z^I} ~+~ \rho~\underbrace{ {\rm div}_1 X_H}_{=0}\end{align}\tag{2}$$ für den Quantenfluss auf a$2n$-dimensionalen Phasenraum, kann intuitiv als das Auftreten von Differentialoperatoren höherer Ordnung verstanden werden$X$in dem$\star$-Produkt , die nicht (notwendigerweise) der Leibniz-Regel gehorchen $$X[fg] ~\neq~X[f]g+f X[g] .\tag{3}$$

2. In Gl. (1) wir haben das Quant definiert ($Q$) Ausführung

   $$X^Q_H~:=~\frac{1}{i\hbar}[H\stackrel{\star}{,}\cdot] ~=~ \frac{2}{i\hbar}H\sinh\left(\frac{i\hbar}{2}\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial}\right) ~=~X_H + {\cal O}(\partial^3) \tag{4}$$ eines Hamiltonschen Vektorfeldes $$X_H ~:=~ \{H, \cdot \}~=~H\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial} .\tag{5}$$ Beachten Sie, dass die Koordinatenkomponenten gleich sind $$X^Q_H[z^I]~\stackrel{(4)}{=}~X_H[z^I],\tag{6}$$ was Teil des Problems ist. Auch in Gl. (1) Wir haben der Einfachheit halber eine Divergenz definiert $${\rm div}_{\rho} X~:=~ \rho^{-1}\frac{\partial(\rho X[z^I])}{\partial z^I}\tag{7}$$ eines möglicherweise höheren Differentialoperators$X$. Gl. (7) ist kein geometrisches Objekt, das den Untergang von Gl. (1).

3. Das Quanten-Liouville-Theorem (1) wird durch die Quanten-Liouville-Gleichung ersetzt

   $$0~=~\frac{d\rho}{dt}~=~X^Q_{-H}[\rho]+\frac{\partial \rho}{\partial t}\tag{8}$$ $$\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{\partial \rho}{\partial t} ~\stackrel{(8)}{=}~X^Q_{H}[\rho] ~\stackrel{(3)}{\neq}~ X^Q_H[z^I] ~\frac{\partial\rho}{\partial z^I} ~\stackrel{(6)}{=}~ X_H[z^I] ~\frac{\partial\rho}{\partial z^I} .\tag{9}$$ Die Ungleichung. (9) ist genau die Ungleichung. (2).$\Box$

4. Siehe auch diesen verwandten Phys.SE-Beitrag.

Entschuldigung für meine Unfähigkeit, Intuition zu teilen, ein häufig subjektives Problem ... Ich habe viel gelernt, indem ich die numerischen Flüsse der Steuernagel-Gruppe und die topologischen Merkmale solcher Flüsse in der Praxis gelesen habe. Für eine aktuelle Diskussion/Beweis der Nullstellen, Singularitäten und negativen Wahrscheinlichkeitsdichtemerkmale, daher Ihre Quelle-Senke-Abfrage in anharmonischen Quantensystemen, siehe Kakofengitis, Oliva & Steuernagel, 2017 . Grundsätzlich sind alle Wetten ungültig, wenn Sie (ein Punkt im Phasenraum) und Ihre Nachbarn eine Phasenraumzelle der Ordnung betreten$\hbar$, kraft des Unbestimmtheitsprinzips, und dazu gehört auch eine Definition dessen, was eine Trajektorie ist.

Wenn Sie sich die raffinierten Filme von Cabrera und Bondar in dem WP-Artikel ansehen, auf den Sie für die Morse- und Quartic-Potentiale verlinken, sehen Sie dies tatsächlich in Echtzeit, als ein Klumpen (Sie), der sich auf hochgradig organisierte Weise über den gesamten Phasenraum ausbreitet ... Ich fordere Sie auf, dort Flugbahnen zu erkennen! Es ist eine mächtige Topologie am Werk, aber dafür würde ich mich Steuernagel beugen.

Als praktische Beruhigung werde ich eine triviale Übung aus unserem Buch über die Kompressibilität von Euler-Strömungen ausarbeiten. Für einen Hamiltonian$H=p^2/(2m)+V(x)$, läuft die Moyal-Evolutionsgleichung auf eine Eulersche Wahrscheinlichkeitstransport-Kontinuitätsgleichung hinaus,

Beachten Sie nun für den Oszillator,$V_1= x^2/2$,$J_p=-f x$, also die Phasenraumgeschwindigkeit${\bf v}=(mp,- x)$und$\nabla \cdot {\bf v}=0$, Inkompressibilität. Dies ist eine Erinnerung daran, dass der Quantenoszillator im Grunde klassisch ist und seine Wellenpakete sich nicht ausbreiten, wie Schrödinger ikonisch darauf hingewiesen hat ... kohärente Zustände. Aber das ist eine schreiende Ausnahme.

Für ein allgemeineres Potential, wie das Quartic,$V_2= x^4/4$,

Der streng quantenmechanische Unterschied zwischen der Quanten-Moyal-Klammer und der klassischen Poisson-Klammer ist also das entscheidende Element bei der Erhöhung oder Verringerung der Menge an (Quasi-)Wahrscheinlichkeit in einem mitbewegten Phasenraumbereich$\Omega$, seit

• Anmerkung hinzugefügt : Es ist sogar noch seltsamer. Quantenströmungen weisen eine physikalisch signifikante Zähigkeit auf !

Hier ist mein wirklich naiver Versuch, meine eigene Frage zu beantworten. Bitte korrigiert mich wo ich falsch liege.

Jeder Punkt im Phasenraum entspricht einem bestimmten Zustand des Systems$(\vec{q}_1,\vec{q}_2,\ldots,\vec{p}_1,\vec{p}_2,\ldots)$. Im Laufe der Zeit bewegt sich dieser Punkt und zeichnet eine Umlaufbahn im Phasenraum nach. Diese Umlaufbahn kann mit den Hamilton-Gleichungen berechnet werden.

Benachbarte Punkte beschreiben ähnliche Zustände. Wenn wir also über den genauen Zustand unseres Systems unsicher sind (was wir dank unserer begrenzten Messgenauigkeit immer sind), müssen wir dies berücksichtigen, indem wir eine Phasenraumverteilungsfunktion verwenden. Diese Funktion$\rho (p,q)$bestimmt die Wahrscheinlichkeit$\rho (\vec{q}_1,\vec{q}_2,\ldots,\vec{p}_1,\vec{p}_2,\ldots)\,d^{n}q\,d^{n}p$dass sich das System im infinitesimalen Phasenraumvolumen befindet$d^{n}q\,d^{n}p$. Die Liouville-Gleichung bestimmt die "Umlaufbahn" unserer anfänglichen Phasenraum-Verteilungsfunktion. Der so vorgezeichnete Weg definiert eine Strömung im Phasenraum. Die beiden wesentlichen Bestandteile bei der Ableitung der Gleichung von Liouville sind

1. Hamiltonsche Gleichungen
2. Die Kontinuitätsgleichung für$\rho (p,q)$.

Die zweite Zutat hier führt uns zu der berühmten Schlussfolgerung, dass die Phasenraumströmung inkompressibel ist . Das bedeutet, dass wir auf jede mögliche Anfangskonfiguration einen Stift legen können (im statistischen Sinne möglich, da wir uns der Anfangskonfiguration nicht 100% sicher sind) und dann den Phasenraumfluss nachverfolgen können, indem wir diese Stifte durch unseren Phasenraum bewegen .

In der Quantenmechanik ist dies jetzt nicht mehr der Fall. Unsere Phasenraumströmung ist komprimierbar . Mit anderen Worten, die Kontinuitätsgleichung stimmt nicht mehr, da es Quellen und Senken gibt. Das bedeutet, dass wir scheitern werden, wenn wir versuchen, unsere Spuren mit Bleistiften nachzuzeichnen. Eine Trajektorie kann sich in zwei aufspalten und andere Trajektorien verschwinden möglicherweise. (Es gibt Quellen für neue Trajektorien und Senken, wo Trajektorien enden.)

Dies ist eine Folge der fundamentalen Unsicherheit in der Quantenmechanik. Auch in der Klassischen Mechanik kann es Unsicherheit geben (weshalb wir in erster Linie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Liouville-Gleichung verwenden), aber sie ist von anderer Art. In der Quantenmechanik gibt es keine einzigartige Umlaufbahn für jede mögliche Anfangskonfiguration. Das meinen wir, wenn wir sagen, dass die Phasenraumströmung in der Quantenmechanik komprimierbar ist.