Es gibt ein bekanntes Argument, dass, wenn wir die Wellenfunktion schreiben als , Wo Und real sind, und setzen Sie dies in die Schrödinger-Gleichung ein und nehmen Sie die Grenze , dann werden wir das sehen erfüllt die Hamilton-Jacobi-Gleichung (siehe zum Beispiel http://physics.bu.edu/~rebbi/hamilton_jacobi.pdf ).
Ich verstehe das, aber ich habe das Gefühl, dass ich die Behauptung nicht verstehe, dass dies zeigt, dass sich die Quantenmechanik auf die klassische Mechanik reduziert Grenze. Ich bin verwirrt, weil ich denken würde, dass wir, um zu zeigen, dass sich QM auf CM reduziert, dies als zeigen müssten , sehr eng wird und dass sich sein Zentrum auf einer klassischen Bahn bewegt, dh . Und es scheint, dass das obige Argument dies überhaupt nicht zeigt. In der Tat ist mein Verständnis, dass alles, was für die physikalische Messung der Position zählt, ist (da dies die Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt) und damit der Phasenfaktor scheint überhaupt keine Rolle zu spielen.
Darüber hinaus sind einige Bücher (siehe Seite 282 von http://www.scribd.com/doc/37204824/Introduction-to-Quantum-Mechanics-Schrodinger-Equation-and-Path-Integral-Tqw-darksiderg#download oder Seite 50- 52 von Landau und Lifshitz) liefern ein weiteres Argument zu dem oben erwähnten. Sie sagen weiter, dass wenn , Dann erfüllt die klassische Kontinuitätsgleichung für ein Fluid mit entsprechender Geschwindigkeit , die in der Grenze ist gleich der klassischen Geschwindigkeit.
Dieses Argument erscheint mir sinnvoller. Dazu habe ich aber noch einige Fragen. (1) Ich weiß, dass es stationäre Zustände gibt, deren Betragsquadrat sich nicht mit der Zeit entwickelt, was dieser Interpretation einer mit der Geschwindigkeit v strömenden Flüssigkeit zu widersprechen scheint. (2) Die Interpretation der Flüssigkeit scheint mir vielleicht nahe zu legen, dass die Wellenfunktion nach innen abnimmt die klassische Grenze mehr auf eine Welle als auf ein Teilchen. (3) Dies zeigt nicht, dass die Wellenfunktion schmal ist.
Die Subtilität besteht darin, dass eine beliebige Wellenfunktion im Grenzwert nicht auf einen Punkt des klassischen Phasenraums reduziert wird (Über den Phasenraum nachzudenken, ist sinnvoller, da man im klassischen Limes bestimmte Koordinaten und Impulse haben sollte).
Man könnte also fragen, was Wellenfunktionen tun. Und die Antwort ist, dass die klassische Grenze auf den sogenannten kohärenten Zuständen aufgebaut ist – den Zuständen, die die Unschärferelation minimieren (obwohl ich kein mathematisches Theorem kenne, das beweist, dass es im allgemeinen Fall immer wahr ist, aber in allen bekannten Fällen Beispielen ist es tatsächlich so). Zustände, die den kohärenten nahe kommen, können als „Quantenfuzz“ betrachtet werden, was den quasiklassischen Korrekturen höherer Ordnungen entspricht .
Ein Beispiel hierfür für den harmonischen Oszillator findet sich in Landau Lifshits.
Apropos flüssiges Argument. Zu Ihrer Bemerkung (1): die denn der stationäre Zustand ist zwar stationär, erfüllt aber dennoch die Kontinuitätsgleichung, da der Strom für solche Zustände Null ist. Ihre Bemerkungen (2) und (3) sind völlig richtig, denn wie gesagt, der klassische Grenzwert kann nicht sinnvoll für beliebige Zustände genommen werden, er ist aus kohärenten Zuständen aufgebaut.
Und ich muss auch zugeben, dass das gegebene Fluid-Argument tatsächlich keine klassische Grenzmanifestation liefert. Es ist nur eine Veranschaulichung, dass sich "alles einigermaßen gut verhält", um die Leser davon zu überzeugen, dass alles in Ordnung ist, und um ihre Aufmerksamkeit vermutlich von den harten und subtilen Punkten abzulenken - das passiert oft Bücher, wahrscheinlich unbeabsichtigt :). Das Problem einer schönen klassischen Grenzwertbeschreibung ist eigentlich ein offenes (obwohl oft unterschätzt), was zu ziemlich tiefgreifenden Fragen führt, wie zum Beispiel dem systematischen Weg, die symplektische Geometrie aus dem klassischen Grenzwert zu erhalten. Meiner Meinung nach hängt es auch mit dem Problem der Quantenreduktion zusammen (auch bekannt als "Kollaps der Wellenfunktion").
Gute Diskussion. Gemäß dem obigen Kommentar von U. Klein Grenze der Quantentheorie ist nicht das, was die Leute denken mögen. Es ist natürlich und intuitiv, wie oben erklärt, anzunehmen, dass die klassische Grenze eine Eigenschaft einer bestimmten Klasse von Zuständen ist.
Wie sich herausstellt, ist diese Ansicht falsch. Sie können tatsächlich eine genaue Wiederherstellung der Hamiltonschen klassischen Punktmechanik für jeden Wert von erhalten mit einer anderen Wellengleichung:
Wenn man sich mit diesem Ergebnis vertraut macht, wird klar, warum hier so viel Verwirrung herrscht.
Die Leute dachten, dass die klassische Grenze in der Quantentheorie enthalten sein sollte.
Die einfache Wahrheit ist, dass es nicht so ist. Die Grenze existiert nicht innerhalb der Theorie.
Es handelt sich um eine sehr spezifische Gleichung, die außerhalb der linearen Quantenmechanik liegt. Es ist jedoch einfach, da diese Gleichung die erwarteten Ehrenfest-Relationen ergibt:
Die relevante Gleichung wurde zuerst in KRW Jones (1991), „The Classical Schroedinger Equation“ UM-P-91/45 (CSE) http://arxiv.org/abs/1212.6786 hergeleitet . Eine einfachere Version wurde 1992 veröffentlicht: KRW Jones (1992), „Classical mechanics as an example of generalizedquantum mechanics“ Phys. Rev. D45, R2590-R2594. http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.45.R2590 . Der Original-Preprint, der die Ableitung und den Nachweis der Eindeutigkeit enthält, wurde vor einigen Tagen auf arXiv veröffentlicht (siehe Link oben).
Die Tatsache, dass die Gleichung nichtlinear ist, könnte erklären, warum sie in der Literatur so lange vermisst wurde. Es ist einfach, aber es ist nicht trivial, noch ist es offensichtlich, bis Sie es wissen.
Die Ableitung des CSE beinhaltet die Gruppentheorie und eine ungewöhnliche nichtlineare Darstellung der Heisenberg--Weyl-Gruppe. Das beteiligte mathematische System der nichtlinearen Quantentheorie ist das zuerst von Weinberg und (unabhängig) von Jones entdeckte.
Eine allgemeine Vorschrift, wie ein klassischer Grenzwert unter Verwendung eines dimensionslosen Parameters genommen wird findet sich in der Abhandlung: KRW Jones (1993), „A general method for deforming quanten dynamics into classic dynamics while keeping behoben" Phys. Rev. A48, 822-825.
Dort finden Sie das allgemeine Argument, wie man eine klassische Grenze konsequent durchführt, damit der Phasenraum, die Trajektorien und alle anderen Eigenschaften wiederhergestellt werden.
Es ist überraschend, dass sich die Physik-Community damit noch nicht auseinandergesetzt hat. Die Frage ist jedoch ausgezeichnet und in der Tat subtil, da die damit verbundene Mathematik vor 1989 nicht existierte. Die Verbindung zwischen diesem Bereich und dem Feynman-Pfadintegral ist besonders interessant.
Das Hauptergebnis der Arbeit "Was ist die Grenze ℏ→0 der Quantentheorie?" ist, dass die klassische Grenze der Quantentheorie nicht die klassische Mechanik, sondern eine klassische statistische Theorie ist. Meine "technische Arbeit" wurde mit der Idee geschrieben, zum Verständnis (der Interpretation) der Quantentheorie beizutragen. Die abschließende Schlussfolgerung des Papiers präsentiert – meiner Meinung nach – ein starkes Argument zugunsten der statistischen Interpretation der Quantentheorie. Motivation und Schlussfolgerungen werden in den Abschnitten I und VIII des Papiers ausführlicher erörtert. Ich werde gerne spezifische Fragen beantworten, aber bitte beachten Sie, dass fast alle Antworten, die ich geben kann, auf meiner Website "http://statintquant.net" zu finden sind (ich aktualisiere diese gerade, wird bald fertig sein).
Yrogirg
Vijay Murthy
QMechaniker
U. Klein