Ist das Universum eine Turing-Maschine?

Als ich etwas über berechenbare Zahlen las, fragte ich mich, ob es ein physikalisches Experiment gibt, das nicht berechenbare Zahlen zurückgibt, oder ob es eine physikalische Theorie gibt, die nicht berechenbare Zahlen benötigt. Denn wenn das der Fall wäre, hätten wir bewiesen, dass das Universum nicht „nur“ eine Simulation in einer Turing-Maschine ist.

Messungen und Experimente führen zu rationalen Zahlen (weil wir Dezimalzahlen mit endlicher Genauigkeit als Ergebnisse aufzeichnen), die alle "berechenbar" sind.

Physikalische Theorien verwenden reelle Zahlen und ihre Kontinuität bei der Formulierung von Differentialgleichungen. Dies beweist jedoch nicht, dass das Universum keine diskrete Zustandssimulation oder Umkehrung ist. Kontinuität in physikalischen Theorien hat wenig direkten Einfluss darauf, ob die Welt wirklich so ist, denn mit ausreichend kurzen Schritten macht diese Unterscheidung keinen überprüfbaren Unterschied.

BEARBEITEN Ich sollte hinzufügen, dass es sehr schwierig ist, alle Eigenschaften physikalischer Gesetze mit einem Computermodell zu reproduzieren. Jede Diskretisierung führt immer ein Verhalten ein, das in gewisser Weise physikalische Gesetze nicht respektiert. Beispielsweise kann ein diskretisierter Raum, wie dicht er auch sein mag, nicht exakt isotrop sein. Physikalische Gesetzmäßigkeiten wie die Maxwellschen Gleichungen für das EM-Feld oder die Einstein-Gleichungen für die Gravitation können, wenn wir sie exakt für gültig halten, mit diskretisierten Modellen nicht exakt reproduziert werden. Das bedeutet nicht, dass das Universum nicht diskret sein kann, nur dass sich eine solche Diskretion auf eine Weise manifestieren sollte, die diesen physikalischen Gesetzen widersprechen würde. Wenn dem so ist, sind diese Manifestationen viel zu klein, um sie zu entdecken oder sich uns zu entziehen.

Wie Sebastian Riese betont, ist die Quantenmechanik berechenbar. Interessanterweise ist bekannt, dass die klassische Mechanik nicht berechenbar ist. Wenn die klassische Mechanik auf allen Längen- und Zeitskalen gültig wäre, könnten Sie einen sogenannten "schnell beschleunigenden Computer" konstruieren, der so beschleunigt, dass der nächste Taktzyklus die Hälfte der Zeit benötigt, um ausgeführt zu werden wie sein vorheriger Taktzyklus. Das bedeutet, dass unendlich viele Berechnungen in endlicher Zeit durchgeführt werden können. Man kann dann die Wahrheit von Theoremen überprüfen und auch überprüfen, ob dieser Satz, der dann als wahr oder falsch bekannt ist, tatsächlich beweisbar wahr oder falsch ist.

Beispielsweise kann die Riemann-Hypothese falsch sein, in diesem Fall ist sie beweisbar falsch (nur Punkt dieser Null, der nicht auf der kritischen Linie liegt), oder sie ist wahr, in diesem Fall kann es einen Beweis dafür geben oder nicht. Ein Beweis ist nur ein Argument von endlicher Länge, das zeigt, dass es wahr ist, und ein solcher Beweis kann nicht existieren.

Der schnell beschleunigende Computer kann einfach alle Nullen eine nach der anderen überprüfen und in endlicher Zeit mit der zählbar unendlichen Anzahl von Nullen fertig sein und dann das Ergebnis zurückgeben, ob sie alle auf der kritischen Linie liegen oder nicht. Außerdem kann es alle Beweise von Theoremen mit Hilberts Proof-Checker-Algorithmus generieren und dann prüfen, ob es jemals einen Beweis für ein Theorem findet, das zeigt, dass die Riemann-Hypothese wahr ist.

Aber natürlich wissen wir, dass die klassische Mechanik falsch ist. Aber während die Quantenmechanik berechenbar ist, ist dies nur möglich, wenn Sie die einheitliche Entwicklung eines isolierten Systems verfolgen. Wenn Sie Messungen durchführen, geht man bei No-Collapse-Interpretationen davon aus, dass alle möglichen Messergebnisse realisiert werden, und es ist dieser gesamte Satz von Messergebnissen, der berechenbar ist. Was nicht berechenbar ist, sind die individuellen Ergebnisse, die Sie in einem bestimmten Sektor beobachten. Wenn Sie also wiederholt die z-Komponente eines in x-Richtung polarisierten Spins messen, erhalten Sie ein zufälliges Messergebnis. Wenn Spin Down durch 0 und Spin Up durch 1 ersetzt wird und Sie einen Dezimalpunkt (oder wird dies "Binärpunkt" genannt?) Voranstellen, ist die Zahl zwischen 0 und 1, die Sie erhalten, nicht berechenbar.