Klassische vs. Quantenenergie des Wasserstoffatoms

Apropos Faktor$\frac{1}{2}$: Es scheint, dass OP in seiner klassischen Argumentation nur die potenzielle Energie von Coulomb berücksichtigt hat

$$\tag{1}\langle U\rangle ~=~-k_e e^2 \langle \frac{1}{r} \rangle ~=~-\frac{k_e e^2}{a_0} ~<~0.$$

Hier$k_e$ist die Coulomb-Konstante und$a_0$ist der Bohr-Radius .$^1$

Allerdings sollten wir auch die kinetische Energie nehmen$\langle T\rangle>0$berücksichtigen! Wir wissen aus dem Virialsatz, dass die kinetische Energie

$$\tag{2}\langle T\rangle~=~-\frac{1}{2}\langle U\rangle~>~0$$

ist minus die Hälfte der potentiellen Energie für die$1/r^2$Coulomb-Kraft.

Daher wird die Gesamtenergie zur Hälfte der potentiellen Coulomb-Energie:

$$\tag{3} E ~=~ \langle T\rangle+ \langle U\rangle ~=~-\langle T\rangle ~=~\frac{1}{2}\langle U\rangle~<~0,$$

das ist (bis auf Vorzeichenkonventionen) die Rydberg-Energie .

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$^1$Hier wird die Schätzung von OP durch die Tatsache unterstützt, dass der Erwartungswert

$$\tag{4}\langle\frac{1}{r}\rangle ~=~\frac{1}{a_0}$$

im Grundzustand der inverse Bohr-Radius ist, ohne dass eine nicht-triviale dimensionslose Zahl in Gl. (4)! [Anmerkung zum Vergleich, dass zB$\langle r\rangle =\frac{3}{2}a_0$.]