Der Virialsatz und ein Delta-Funktionspotential

Der Virialsatz sagt uns also:

$2\langle T\rangle = \langle \textbf{r}\cdot\nabla V\rangle$.

Jetzt habe ich mich gefragt, was passieren würde, wenn V die Form hat:

$V(\textbf{r}-\textbf{r}') = V_0\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}')$, Wo$\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}')$ist die Delta-Funktion in D-Dimensionen. Ich bin mir nicht sicher warum, aber ich denke, dass ich das bekommen sollte:

$\langle \textbf{r}\cdot\nabla V\rangle = \frac{1}{D}\langle V_0\rangle$da das als Produkt verschiedener Komponenten ausgeschriebene Delta ist:

$\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}') = \frac{1}{\sqrt{det(G)}}\prod\limits_{i=1}^D\delta(x_i-x_i')$, mit$x_i$die verschiedenen Komponenten des Vektors$\textbf{r}$, angegeben in der Basis mit Metrik G, wobei$\sqrt{det(G)}$gibt das D-dimensionale Volumenelement in der Basis an$\textbf{e}_i$.

Ich weiß nicht, ob es dafür eine strengere Begründung gibt? Oder ob das überhaupt stimmt?

Nachtrag: eine andere Perspektive:

Eine andere Möglichkeit, es zu betrachten, ist, wenn ich meinen Vektor neu skaliere$\mathbb{r}$bij ein Faktor$\lambda$, Ich bekomme:

$\delta^{(D)}(\lambda\textbf{r}-\lambda\textbf{r}') = \frac{1}{\lambda^D}\delta^{(D)}(\textbf{r}-\textbf{r}')$. Das lässt mich auch denken, dass ich die obige Beziehung für den Virialsatz bekommen sollte. Aber ich bin mir meiner Argumentation immer noch nicht sicher!

Zusätzliche Nachfrage nach Potential (notwendig für endliches System)

Neben meinem Delta-Potential habe ich noch ein zusätzliches Begrenzungspotential, um die Teilchen zusammenzuhalten. Der Einfachheit halber nehme ich eine harmonische Falle$V(r) = \frac{1}{2}m\omega^2r^2$was die Teilchen zusammenhält! Das ist also der andere Term des Potenzials, aber diesen habe ich in meiner Frage nicht berücksichtigt, weil er für meine Berechnungen kein Problem darstellte!