Intuition hinter dem klassischen Virialsatz

Die Schlussfolgerung – die Behauptung des Virialsatzes – ist nicht „nur etwas Mathematik“, weil alle Objekte in der Behauptung eine physikalische Interpretation haben. Es ist also Physik und hat große Auswirkungen auf die theoretische Physik sowie auf die angewandte Physik.

Die Ableitung ist eine mathematische Ableitung, aber es ist nicht richtig, an eine mathematische Ableitung das respektlose Wort „nur“ anzuhängen. Mathematische Ableitungen sind die solidesten und die einzigen wirklich soliden Ableitungen, die man in der Wissenschaft haben kann. Im Gegenteil, Ableitungen und Intuitionen, die nicht mathematisch sind, sollten mit dem Wort "nur" begleitet werden, weil sie minderwertig sind. Stattdessen ist es richtig, seine Intuition so anzupassen, dass sie mit den solidesten Ergebnissen der Physik kompatibel ist – und das sind die mathematisch formulierten Ergebnisse. Übrigens gibt es verschiedene Ableitungen – die sich mit dem mikrokanonischen Ensemble, dem kanonischen Ensemble usw. befassen. Die Details des Beweises unterscheiden sich in diesen Variationen, aber die physikalische Gesamtschlussfolgerung ist geteilt und wichtig.

Der exakte Beweis des Theorems kann nicht zu sehr vereinfacht werden – sonst würde man das tun – aber man kann heuristische, approximative Beweise für approximative Versionen des Virialtheorems und seiner Spezialfälle anbieten. Beispielsweise enthält die Größe im Erwartungswert die Ableitung von$H$bezüglich einer Koordinate. Je größer die Ableitung ist, desto mehr steigt der Hamilton-Operator mit der Koordinate und desto mehr der Boltzmann-Faktor$\exp(-H/kT)$der kanonischen Verteilung nimmt mit der Koordinate ab, wodurch der Erwartungswert der Koordinate kleiner wird. Wenn wir also die Größe wieder mit der Koordinate multiplizieren, erhalten wir etwas, das sich unabhängig von der Steigung konstant verhält. Und tatsächlich hängt der Erwartungswert des Produkts nur von der Temperatur ab.

Dieser Satz ist in der statistischen Physik wichtig, da es in der statistischen Physik um die Berechnung statistischer Mittelwerte verschiedener Größen geht, der Satz es uns ermöglicht, einige Erwartungswerte auf einfachere Weise auszudrücken, und$x_i \cdot \partial H / \partial x_j$gehören zu den einfachsten und wichtigsten Größen, deren statistische Mittelwerte berechnet oder interessant sein können. Wir sollten also besser wissen, wie sie sich verhalten.

Ein wichtiger Spezialfall des von Ihnen erwähnten Satzes betrifft die Berechnung des Erwartungswertes der kinetischen Energie und der potentiellen Energie. Ersteres ist$n/2$mal letzteres für Potenzgesetzpotentiale der Form$ar^n$, Zum Beispiel. Wir wissen also, wie viel Prozent der Energie in der kinetischen gespeichert ist und wie viel Anteil die potentielle Energie ist. Zum Beispiel tragen sowohl die kinetische als auch die potentielle Energie 50 % für harmonische Oszillatoren bei$r^2$Potenziale. Für Kepler oder Coulomb$-C/r$Potenzial, dh$n=-1$, die potentielle Energie ist negativ,$-|V|$, und die kinetische Energie ist$+|V|/2$, wodurch das Potenzial um 50% reduziert wird, während die Gesamtenergie negativ bleibt. Es gibt viele andere Dinge, die wir aus dem Theorem in verschiedenen Situationen lernen können – und in Klassen von Situationen.

Der Sinn der Verwendung von Ausdrücken wie z

$$\langle x^i \frac{\partial H}{\partial x^j} \rangle$$ ist nicht unbedingt, Informationen über ein allgemeines System zu erhalten , sondern ein Werkzeug zu erhalten, um spezifische Systeme oder zumindest Systemklassen von Fall zu Fall zu untersuchen.

Beispielsweise können in der Newtonschen/Galileischen Dynamik die meisten interessierenden Systeme in Koordinaten ausgedrückt werden, so dass ihr Hamiltonoperator die trennbare Form hat

$$H = T(p_i) + V(x^i)$$ Betrachten wir nun die Umgebung eines nicht entarteten Gleichgewichts , also eines Punktes$x^i_0$so dass$\partial V/\partial x^j (x^i_0)$, sondern alle Eigenwerte der Matrix$V_{ij} \equiv \partial^2 V/ \partial x^j \partial x^k (x^i_0)$positiv sind (dh die Matrix zweiter Ableitung ist nicht entartet und positiv definit). Dann können wir eine Transformation zu vornehmen$\delta x^i = x^i-x^i_0$und der Hamiltonian kann in der Form neu ausgedrückt werden $$H = T(p_i) + \frac{1}{2}V_{ij}\delta x^i \delta x^j + \mathcal{O}(\delta x^3)$$ (Unter der Annahme der Einstein-Summenkonvention .) In diesem Fall können wir sagen, dass es nahe am Gleichgewicht liegt$x^i_0$ $$\delta x^k\frac{\partial H}{\partial x_l} = \delta x^k V_{lj}\delta x^j$$ (Automatisches Ablegen$\mathcal{O}(\delta x^3)$von nun an.) Wenn Sie setzen$k=l$und summieren Sie die Indizes, die Sie erhalten $$\delta x^l\frac{\partial H}{\partial x_l}(x^i) = \delta x^l V_{lj}\delta x^j \approx 2 (V(x^i) - V(x^i_0))$$ Mit anderen Worten,$\delta x^l\frac{\partial H}{\partial x_l}$bedeutet ungefähr die doppelte Differenz der potentiellen Energie im Vergleich zum Gleichgewicht.

Im Prinzip, wenn Sie die Matrix kennen$V_{ij}$, jeden kennend$\delta x^k \partial H/\partial x^l$Außerdem können Sie die ungefähre Entfernung ermitteln$\delta x^i$des Systems vom Potentialgleichgewicht entfernt. Sie können auch eine Dimensionsanalyse für eine Faustregelschätzung der vollständigen Freisetzung des Systems aus dem Gleichgewicht verwenden. Nehmen Sie an, dass Sie aus der Physik des Systems verstehen, dass das Potential mit einer bindenden Energieskala verbunden ist$E_{\rm b}$und dass die zweite Ableitungsmatrix geht als$V_{ij} \sim E_{\rm b}/L_{\rm V}^2$Wo$L_{\rm V}^2$ist eine Variabilitätslänge. Sie können dann abschätzen, dass das System so lange gebunden bleibt

$$\delta x^l\frac{\partial H}{\partial x_l}(x^i) \lesssim E_{\rm b}$$ Wir sehen auch, dass und gleichwertiger Zustand ist$|\delta x| \lesssim L_{\rm V}$, was auch die Bedingung für die Klein-$\delta x$obige Erweiterungen gültig sein.

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Bisher habe ich nur die klassische Mechanik besprochen, keine statistische Physik. Lassen Sie uns nun der Einfachheit halber unser Koordinatensystem so verschieben$x^i_0 = 0$und dann

$$\langle x^k \frac{\partial H}{\partial x^l}\rangle \approx 2 \langle V_{lj}x^j x^k \rangle$$ Die Aussage, dass für$k\neq l$Dass Null ist, bedeutet einfach, dass Schwankungen in "energieorthogonalen" Richtungen unkorreliert sind. Dies lässt sich besonders gut nachvollziehen, wenn man in eine Basis wo dreht$x^i$sind Eigenvektoren von$V_{ij}$(dh eine Basis, wo$V_{ij}$diagonal ist). Der$k=l$Fall (ohne Einstein-Summierung!) erhalten Sie die Korrelation von "energiebedingten" Schwankungen um das Potentialgleichgewicht.

Wenn wir beispielsweise das Virialtheorem und die Faustregelschätzung für gebundene Systeme nahe dem Gleichgewicht verwenden, erhalten wir eine Bedingung dafür, dass das System gebunden bleibt als

$$\langle x^l \frac{\partial H}{\partial x^l}\rangle \approx 2n\langle V - V_{\rm eq}\rangle = n k_{\rm B} T \lesssim E_{\rm B}$$ (Hier$n$ist die Anzahl der Freiheitsgrade.) Dh$\langle x^l \frac{\partial H}{\partial x^l}\rangle$ermöglicht eine detaillierte Analyse, ob das System im Gleichgewicht bleibt, eventuell andere lokale Gleichgewichte erreicht etc. etc.

Dies ist natürlich nur ein Beispiel für eine Klasse von Systemen. Es gibt Systeme mit entarteten Gleichgewichten, für die die Diskussion in einigen Details geändert wird, aber die allgemeine Bedeutung des Begriffs$\langle x \partial H/\partial x\rangle$ist ähnlich. In der Quantenmechanik muss man eigentlich mit einer ähnlichen Analyse beantworten, ob die Temperatur ausreicht, um einen Freiheitsgrad zumindest um einen einzigen Quantensprung anzuregen und ob sie also in die Zustandssumme einfließen muss. In der Astrophysik spricht man auch oft von Systemen, bei denen das Virialtheorem sehr wichtig ist, das Gravitationspotential aber schon$\sim 1/|x - x'|$zwischen jeweils zwei Teilchen. Allerdings ist die Bedeutung des Begriffs$\langle x \partial H/\partial x\rangle$ist nicht ganz universell und wird in der relativistischen Physik besonders trübe. Wie ich eingangs sagte, bietet der Virialsatz ein nützliches Werkzeug für bestimmte Klassen von Systemen, aber vielleicht nicht für alle Systeme.