Lautstärke als Maßwahl im Phasenraum

Für Gleichgewichtssysteme erwarten wir, dass das Liouville-Theorem gilt. Dieser Satz besagt, dass die Dichtefunktion der Zustände des Systems eine Bewegungskonstante ist, die wiederum in das Phasenvolumen übersetzt werden kann, das damit übereinstimmt, dass die Energie des Systems zeitlich konstant ist. Meine Frage bezieht sich eher auf die Wahl des Maßes, nämlich das Phasenraumvolumen D Γ = D Q D P . Bezeichnung der Maßnahme durch μ und die Zeittransformation durch T , Der Satz von Liouville kann ausgedrückt werden als:

μ ( T v 0 ) = μ ( v 0 )
Wo v 0 ist der Anfang ( T = 0 ) Volumen unseres Systems im Phasenraum.

  • Ergibt sich die Wahl des „Volumens“ als Lebesgue-Maß der Wahl hauptsächlich aus physikalischen Erwägungen?
  • Ich verstehe, dass es sich um ein gültiges Maß handelt, da es (zumindest intuitiv) die üblichen Axiome einer Maßfunktion (Monotonie, zählbare Additivität usw.) erfüllt.
  • Abschließend eine spezifischere Frage: Im Zusammenhang mit dynamischen Systemen und Diskussionen über die Zugänglichkeit verschiedener Teile des Phasenraums wird oft gesagt, dass fast alle Punkte im Raum zugänglich sind, mit Ausnahme einer Reihe von Anfangsbedingungen (Punkten) mit Maß Null. . Was bedeutet es in solchen Kontexten, sowohl mathematisch als auch physikalisch, dass eine bestimmte Menge von Phasenraumpunkten das Maß Null hat?
Ich bin mir nicht sicher, was Ihre Fragen sind: Der Satz von Liouville besagt, dass das Phasenraumvolumen konstant ist. Möchte man dies mit einem Maß ausdrücken, muss man das Lebesgue-Maß wählen, denn das Lebesgue-Maß misst das Volumen eher per Definition. Und eine Menge vom Maß Null ... ist eine Menge, deren Lebesgue-Maß Null ist, dh die kein Volumen hat.
@ACuriousMind Danke für deinen Kommentar. Aber was bedeutet das Maß-Null-Bit physikalisch? dh wenn Anfangsbedingungen 0 Maß im Phasenraum haben. Sind sie noch gültige Anfangsbedingungen?

Antworten (1)

[ Haftungsausschluss : Ich gebe meine Antwort, bin jedoch kein Experte, also fühlen Sie sich frei zu kommentieren/bearbeiten, wenn ich einen Fehler gemacht habe ;-) ]

Mathematisch kann man sich die Evolution in der klassischen Mechanik als einen (Symplekto-)Morphismus auf dem Kotangensbündel vorstellen T ∗ M von einigen glatt N -dimensionale Mannigfaltigkeit M .

Das Kotangensbündel T ∗ M ist eine symplektische Mannigfaltigkeit und trägt somit eine natürliche Volumenform ω , das ist die 2 N -te äußere Potenz der symplektischen Form. Diese Volumenform ω induziert natürlich ein Maß μ ω Definieren des Maßes einer Borel-Menge B ∈ B An T ∗ M als

μ ω ( B ) = ∫ B ω .
Abgesehen von den mathematischen Formalitäten ist die Idee die folgende: Was in der Physik als Phasenraum bezeichnet wird, ist ein bestimmtes geometrisches Objekt (das Kotangensbündel), das mit einem "natürlichen" Maß ausgestattet ist. Im einfachsten Fall ist dort der Koordinatenraum M = R N und der Phasenraum T ∗ M = R 2 N , dann das natürliche (symplektische) Maß μ ω ist genau das Lebesgue-Maß.

Die Dynamik wird durch einen Symplektomorphismus beschrieben ϕ (d. h. behält die symplektische Form bei) im Phasenraum: ϕ : R → T ∗ M (auch Hamiltonscher Fluss genannt). Diese Abbildung bewahrt auch das symplektische Maß:

( ∀ B ∈ K ) ϕ # μ ω ( B ) = μ ω ( B ) ,
Wo ϕ # μ ω ist das Vorantreiben der Maßnahme durch die Strömung ϕ Und K ist die Menge der kompakten Borel-Teilmengen von T ∗ M (Dies ist im Wesentlichen eine Wiederholung der Beziehung, die Sie geschrieben haben).

Dies ist jedoch eine Folge der Besonderheit „die Dynamik bewahrt die symplektische Form“ und gilt daher nicht für allgemeine Takte. Dies ist meines Erachtens physikalisch relevant, da die Evolution als Symplektomorphismus eng mit der Hamilton-Jacobi-Form der Bewegungsgleichungen (und damit dem Prinzip der kleinsten Wirkung) verwandt ist.

Was den letzten Punkt betrifft, ist die Idee, dass in "chaotischen" dynamischen Systemen geschlossene (periodische) Phasenraum-Trajektorien möglich, aber "instabil" in dem Sinne sind, dass es sich um isolierte Punkte im Phasenraum handelt. Physikalisch bedeutet das, dass eine geringfügige Störung der Anfangsbedingungen (entweder Ort oder Impuls) einer periodischen Bewegung zu einer nicht periodischen Bewegung führt, die niemals in den Anfangszustand zurückkehrt (und in geeigneten Situationen den gesamten Phasenraum oder a Bereich des Phasenraums). Natürlich ist jeder Punkt des Phasenraums immer noch eine zulässige Anfangsbedingung, aber nur eine Menge von Maß Null von ihnen führt zu periodischen Lösungen, während die anderen zu nichtperiodischen Lösungen führen.

Danke für deine Antwort. Ich muss zugeben, dass diese Antwort aus mathematischer Sicht weit über meine Grenzen hinausgeht, obwohl ich sicher bin, dass sie richtig ist, und an ihrer Strenge nicht zweifle. Es wäre sehr hilfreich, wenn Sie etwas freundlichere Erklärungen hinzufügen könnten, z. B. zur Volumenform ω „Die 2n-te äußere Kraft der symplektischen Form … induziert ein Maß μ ω "Ich habe diesen Teil wirklich nicht verstanden, und ich halte ihn für sehr wichtig. Haben Sie zum Schluss noch einige Kommentare zur letzten Frage? Vielen Dank
@ user929304 Ich habe meine Antwort ein wenig bearbeitet ;-)
Vielen Dank, die Bearbeitung war eine große Hilfe, insbesondere der letzte Absatz. Eine Frage allerdings: So im üblichen Sinne könnte ich schreiben ∫ B ω als ∫ B D X 1 ⋯ D P 2 N (unter der Annahme von n Freiheitsgraden), ist das richtig? Endlich verstehe ich jetzt Folgendes: Periodische Umlaufbahnen bestehen aus isolierten Punkten im Phasenraum, was wiederum impliziert, dass alle Sätze von Anfangsbedingungen, die zu periodischen Umlaufbahnen führen, das Maß Null haben müssen, da isolierte Punkte das Volumen 0 haben. Nur um es klar zu stellen , was genau qualifiziert einen Punkt im Phasenraum als isoliert ?
Ja, die Volumenform für einen "flachen" Phasenraum ist die übliche D X 1 ⋯ D X N D P 1 ⋯ D P N . In diesem Zusammenhang ist ein Punkt mit einer periodischen Umlaufbahn "isoliert", wenn er eine Nachbarschaft von Punkten hat (eine offene Kugel, die ihn enthält), die keine periodischen Umlaufbahnen ergibt.
Lautstärke als Maßwahl im Phasenraum
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