Gleichgewicht in Stat Mech und Phasenraumdichte

Ich habe mich gefragt, ob es eine Beziehung zwischen dem Gleichgewicht in der Statistik und der Phasenraumdichte eines Systems gibt. Dies scheint nicht ganz unabhängig zu sein, da die Entropie im Gleichgewicht maximiert wird und diese Größe definitiv irgendwie mit der Phasenraumdichte zusammenhängt.

Intuitiv würde ich das sagen ∂ ρ ∂ T = 0 im Gleichgewicht, aber da in einem mikrokanonischen Ensemble die gleichmäßige Verteilung am wahrscheinlichsten ist, denke ich auch, dass die Ableitung in Bezug auf Raum- und Impulskoordinaten verschwinden sollte, ist das wahr?

Antworten (1)

Die von Ihnen geschriebene Bedingung, nämlich dass die partielle Ableitung der Phasendichte nach der Zeit verschwindet, ist eine Standardbedingung für Phasendichten, die Gleichgewichtssysteme beschreiben. Siehe zum Beispiel Seite 29 von Eric D'Hokers Vorlesungsunterlagen zur statistischen Mechanik, die hier zu finden sind:

http://www.pa.ucla.edu/content/eric-dhoker-lecture-notes

Andererseits ist das Verschwinden der partiellen Ableitungen nach Phasenraumkoordinaten im Allgemeinen keine Bedingung für Gleichgewichtsensembles. Die mikrokanonische Verteilung ist in dieser Hinsicht eine Besonderheit.

Beispielsweise ist die Phasendichte für das kanonische Ensemble

ρ ( P , Q , T ) = 1 Z ( β ) e − β H ( P , Q )
die offensichtlich über dem bereitgestellten Phasenraum nicht konstant ist H ( P , Q ) ist nicht konstant.

danke für diese tollen Vorlesungsunterlagen. Sie sagten, das mikrokanonische Ensemble sei in dieser Hinsicht etwas Besonderes, aber in Ihren Skripten klingt es so, als ob dies nur für das sogenannte uniforme Ensemble gilt?
@XinWang Sichere Sache. Wenn ein System durch das mikrokanonische Ensemble beschrieben wird, hat es (per Definition) eine feste Energie. Das heißt, wenn der Phasenraum eine Dimension hat N , dann ist der Zustand des Systems darauf beschränkt, auf an zu liegen N − 1 dimensionale Hyperfläche konstanter Energie. Darüber hinaus ist die dieser Hyperfläche zugeordnete Wahrscheinlichkeitsdichte eine einheitliche Dichte; alle Zustände mit der vorgeschriebenen Energie sind gleich wahrscheinlich.
aber wie soll das heißen ∂ ρ ∂ Q = 0 und ähnlich für das Momentum?
@XinWang Da das System darauf beschränkt ist, auf einer Oberfläche konstanter Energie zu liegen, sollte sein Phasenraum effektiv als diese Oberfläche behandelt werden. Nehme an, dass ξ ich Koordinaten auf dieser Oberfläche sind, dann sind, da in der mikrokanonischen Gesamtheit die Wahrscheinlichkeitsdichte einheitlich ist, die Ableitungen der Phasendichte in Bezug auf diese Koordinaten Null; ∂ ρ / ∂ ξ ich = 0 . Beachten Sie, dass dies eine Idealisierung ist. In der Praxis wählt man das System oft so aus, dass es keine genau feste Energie hat, sondern eine Energie, die in einem Bereich von Werten festgelegt ist.
@joshphysics Wie ist der Gleichgewichtszustand ∂ ρ ∂ T = 0 wird durch die ergodische Hypothese erzwungen?
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