Ist kB→0kB→0k_B \rightarrow 0 die klassische Grenze von stat. mech., da ℏ→0ℏ→0\hbar \rightarrow 0 in QM ist?

Es handelt sich um zwei verschiedene Grenzen, bei denen zwei verschiedene Konstanten auf Null gesetzt werden und die resultierende Begrenzungstheorie unterschiedliche Namen hat.

Beide sind jedoch Grenzen für Dimensionskonstanten, und die Analogie ist perfekt.

Die richtig abgeleitet$\hbar\to 0$Grenze einer quantenmechanischen Theorie ist eine klassische Theorie – ihre klassische Grenze – im gleichen Sinne wie die richtig abgeleitete$k\to 0$Grenze der Gesetze der statistischen Mechanik erzeugen die Gesetze der Thermodynamik.

Nun, die Grenze$k\to 0$Und$N\to \infty$bedeutet eigentlich dasselbe, denn die implizite Annahme bei all diesen Begrenzungsverfahren ist, dass die aus dem Alltag bekannten makroskopischen Größen endlich – und im Wesentlichen fest – gehalten werden. Dies gilt insbesondere für Energie und Temperatur. Die thermische Energie von$N$Atome ist so etwas wie

$$E=3kTN/2$$ Wenn beides $E,T$fest sind, ist es klar, dass die $k\to 0$Grenze ist genau dasselbe wie die $N\to\infty$Grenze. Die thermodynamische Grenze bedeutet einfach, dass wir alle Effekte in einem System mit fester Energie vernachlässigen, die durch die Endlichkeit der Anzahl von Atomen verursacht werden – oder äquivalent dazu die Endlichkeit (Wert ungleich Null) des Beitrags eines einzelnen Atoms zum Ganzen (was proportional ist zu $k$).

Auch im quantenmechanischen Fall hat man die Freiheit, den Grenzwert auf viele Arten zu beschreiben. Wir können sagen, dass die klassische Grenze erscheint als$\hbar\to 0$. Wir können aber auch sagen, dass die klassische Grenze entsteht, wenn$N_J\to \infty$Wo$N_J=J_z/\hbar$, Zum Beispiel. Wenn der Drehimpuls (oder die Aktion$S$) wird als Vielfaches von geschrieben$\hbar$, die Bedingung der dimensionslosen Koeffizienten$N_J\to\infty$ist dasselbe wie$\hbar\to 0$weil ihr Produkt fixiert ist. Die klassische Physik muss alle Effekte vernachlässigen, die dadurch verursacht werden, dass die Gesamtgrößen, die das System beschreiben, so klein sind, dass sie vergleichbar sind$\hbar$(das ist das Regime, in dem die Quantenphänomene wichtig werden). Auch hier vergleichen wir zwei Dinge, also zu sagen, dass eines unendlich größer als das andere ist, ist dasselbe wie zu sagen, dass das andere unendlich kleiner ist.

In beiden Situationen hat man viele Möglichkeiten was zu tun$N$oder$N_J$kann genau sein. Aber in beiden Fällen geht die Grenze für die Dimensionskonstante gegen Null, egal ob es geht$k$oder$\hbar$, ist gleichbedeutend mit einigen dimensionslosen Zahlen (die messen, wie viel das System im Vergleich zu den statistisch-mechanischen oder quantenmechanischen "Basisblöcken" größer ist, wo sich die allgemeinere Theorie in ihrer vollen Pracht zeigt), die ins Unendliche gehen.

Denn das Verhältnis von Wahrscheinlichkeiten eines entropieverändernden Prozesses und seiner Zeitumkehr geht wie$\exp((S_B-S_A)/k)$, wir sehen das für fest$S_A,S_B$in makroskopischen Einheiten wird das Verhältnis streng unendlich. In der Thermodynamik, dh dem thermodynamischen Limit der statistischen Betrachtungen, ist also eine abnehmende Entropie streng unmöglich.

Lassen Sie mich abschließend erwähnen, dass der nichtrelativistische Grenzwert auch analog zu den beiden obigen Grenzwerten ist. Wir können sagen, dass die Grenze beinhaltet$c\to\infty$das ist eindeutig dasselbe wie$1/c\to 0$: es spielt die gleiche Rolle wie$k\to 0$, Zum Beispiel. Wir können jedoch auch sagen, dass die tatsächlichen Geschwindigkeiten viel kleiner sind als$c$an der Grenze, also$\beta=v/c\to 0$oder$1/\beta\to \infty$. Das ist analog zu$N\to\infty$oder$N_J\to\infty$über.

Ja, wenn Leute über die thermodynamische Grenze sprachen, beziehen sie sich immer auf die Grenze der großen Anzahl von Teilchen oder$N \to \infty$.

Die Rolle von$k_B$besteht darin, die mikroskopischen Größen und makroskopischen thermodynamischen Größen zu verknüpfen. In der Newtonschen Mechanik haben wir den Impuls und die kinetische Energie bereits sehr klar definiert. Auf der anderen Seite werden Thermodynamik mit den Größen wie Volumen, Druck und Entropie separat entwickelt. Es ist nicht klar, wie diese beiden Gruppen von Größen miteinander in Beziehung stehen oder umgerechnet werden, bis die Leute die Boltzmann-Konstante finden$k_B$. Es mag ein wenig überraschen, dass nur eine Konstante sie alle miteinander in Beziehung setzen kann, aber es zeigt auch an, wie gut sie die Thermodynamik entwickeln.

Eine Beziehung ist die durchschnittliche kinetische Energie und die Temperatur, die miteinander in Beziehung stehen

$$\frac{1}{2} m \left\langle v^2\right\rangle = \frac{3}{2} k T$$ Ähnliches zwischen Energie und Temperatur zeigt sich auch beim Boltzmann-Faktor: $$p_i = e^{-\frac{E_i}{k_B T}}$$ Ein weiteres Beispiel ist der Zusammenhang zwischen Entropie und Zustandszahl: $$S = k_B \ln(\Omega)$$

Diese Beziehungen bezüglich der thermodynamischen Größen können nur sinnvoll sein, wenn wir über den Durchschnitt sprechen, bei dem das System auch mit der äußeren Umgebung in Kontakt kommen kann. Große Anzahl von Partikeln, oder$N\to \infty$, garantieren, dass die Schwankung des Mittelwerts in Ordnung ist$\mathcal{O}(1/\sqrt{N})$wegen des zentralen Grenzwertsatzes. Daher können die thermodynamischen Größen gut definiert werden.

Eine Frage hier ist, warum wir nicht direkt, sagen wir, die Anzahl der Zustände anstelle der Entropie verwenden. Ein Grund ist, dass die Menge unpraktisch groß sein kann. Ein weiterer Grund ist, dass wir, wenn wir von thermodynamischer Größe sprechen, immer die durchschnittliche Größe mit zufälligen Schwankungen meinen. Es ist für offene Systeme nützlich, da es kontinuierlich Wärme und Partikel mit der Umgebung austauscht, aber die Energie- und Partikelmengen nicht konstant sind.

Es hängt alles davon ab, was Sie unter statistischer Mechanik und klassischer Thermodynamik verstehen. Es gibt mindestens drei Versionen der statistischen Mechanik, (1) eine reine Quantenversion mit Dichtematrizen, (2) eine Halbquantenversion, in der Energieniveaus quantisiert sind, aber andere Dinge klassisch sind, und (3) die reine klassische statistische Mechanik Version, die von Boltzmann und Gibbs entwickelt wurde und die der Vater von (1) und (2) war.

Ich bin mir nicht sicher, was Sie mit klassischer Thermodynamik meinen. Oder genauer gesagt, was nicht-klassische Thermodynamik sein könnte. Im Allgemeinen führen alle Versionen der statistischen Mechanik zu den Ergebnissen der Thermodynamik, solange die Temperatur nicht zu niedrig oder zu hoch ist, das Volumen des Systems viel viel größer ist als seine Oberfläche und die Anzahl der Teilchen im System groß ist, aber nicht so groß, dass die Anzahldichte ($n/V$) wird zu groß.

Das ist das Beste, was ich tun kann. Wenn Sie Ihre Frage verfeinern, können die Leute vielleicht eine bessere Antwort finden.