In welcher Grenze bekommen wir *wirklich* Maxwell-Boltzmann-Statistiken von Bose-Einstein und Fermi-Dirac?

Ich werde Ihnen das Argument nennen, das in dem Buch, aus dem ich gelernt habe, Physical Gas Dynamics , präsentiert wird . Als Referenz ist es Seite 104, Kapitel 4, Abschnitt 6. Ich präsentiere es stattdessen, weil es sich nicht auf die Boltzmann-Verteilung für die Ableitung stützt, also gibt es vielleicht einen zusätzlichen Einblick für Sie. Sie stellten in Abschnitt 5 fest, dass:

$$\frac{N_j^*}{C_j} = \frac{1}{e^{\alpha + \beta \epsilon_j} \mp 1}$$

für die BE- bzw. FD-Statistiken. Die andere Notation:$N_j^*$ist die Anzahl der Teilchen im Energiezustand$j$,$C_j$ist die Anzahl der möglichen Ebenen und der Koeffizienten$\alpha$Und$\beta$müssen noch festgelegt werden.

Bei „ausreichend hohen“ Temperaturen$C_j \gg N_j^*$und das kann nur wahr werden, wenn der Nenner groß ist. Und wenn der Nenner groß ist, ist die Exponentialfunktion viel größer als 1, sodass dieser Term vernachlässigt werden kann. Sowohl die FD- als auch die BE-Statistik führen also zu demselben Ausdruck:

$$\frac{N_j^*}{C_j} = e^{-\alpha - \beta \epsilon_j}$$

Dann wenden sie dies auf die Anzahl der Mikrozustände an (nach Sterlings Näherung):

$$\ln W = \Sigma_j \left[ \pm C_j \ln \left(1\pm\frac{N_j}{C_j}\right)+N_j\ln\left(\frac{C_j}{N_j}\pm 1\right)\right]$$

bei dem die$\pm$ist für BE bzw. FD. Also setzen sie den Ausdruck for ein$N_j^*/C_j$und geben Sie weiter die Näherung an:$\ln\left(1 \pm x\right) \approxeq \pm x$für$x \ll 1$um zum Boltzmann-Grenzwert zu gelangen:

$$\ln W = \Sigma_j N_j \left( \ln \frac{C_j}{N_j} + 1 \right)$$

Die gesamte Herleitung hängt also wirklich nur von der Vorstellung ab, dass es bei "ausreichend großen" Temperaturen erheblich mehr Energiezustände als Teilchen gibt und daher die überwiegende Mehrheit von ihnen leer ist. Darüber hinaus haben sowohl die FD- als auch die BE-Statistik das gleiche Ergebnis, da so viele Zustände leer sind, dass die Wahrscheinlichkeit sehr gering ist, dass zwei Teilchen versuchen, das gleiche Niveau zu besetzen.

Diese gesamte Ableitung stützt sich nur auf Informationen über die Quantenstatistik und erfordert nicht das Händewinken, das erforderlich ist, um zu denselben Schlussfolgerungen aus der klassischen Mechanik zu gelangen wie die Ableitung aus der Boltzmann-Verteilung (so sagen die Autoren des Buches unmittelbar nach der Ableitung).

Es wird weiter gesagt$\epsilon_j$hat einen großen Bereich von Werten, einschließlich Null, und daher ist die einzige Möglichkeit, dass die Exponentialfunktion für alle Zustände groß ist, zu haben$\alpha \gg 1$. Dies entspricht (und bleibt als Übung):

$$\frac{V}{N} \times \frac{\left(2 \pi m k T\right)^{3/2}}{h^3} \gg 1$$

die für sehr klein verletzt wird$m$mit einer sehr großen Anzahldichte$N/V$.

Dann ist es ziemlich einfach zu eliminieren$\alpha$und finden Sie einen Ausdruck mit only$\beta$, die praktisch nicht lösbar ist. Dann verwenden sie den Ausdruck für die maximale Anzahl von Mikrozuständen und stören die Lösung$N_j^*$und Vernachlässigung der zweiten oder höheren Terme von$\Delta N_j$.

Basierend auf all dem wird festgestellt, dass$\beta = \frac{1}{k T}$. Dies hängt jedoch von der Annahme ab, dass alle möglichen Mikrozustände eines Systems a priori gleich wahrscheinlich sind.

Offensichtlich habe ich bei der Ableitung eine Reihe von Schritten und Gleichungen übersprungen, aber ich empfehle dieses Buch (oder jedes andere, das die Ableitung von der Seite der Quantenmechanik und nicht von der Seite der Maxwell-Boltzmann-Verteilung zeigt).

Für BE- oder FD-Statistiken haben Sie die zusätzliche Einschränkung, dass Sie es mit einer festen Anzahl von Partikeln (oder einer festen mittleren Anzahl) zu tun haben. Das gibt Ihnen eine Normalisierungsbedingung

$$\int d\epsilon \ n(\epsilon) = N$$ Nun, für große T $\beta \epsilon$ist klein, dh ein Großteil der möglichen Energiezustände ist tatsächlich zugänglich, dh könnte möglicherweise zum Integral beitragen. Damit die Normalisierungsbedingung trotzdem erfüllt ist, müssen Sie haben $\mu$so dass $$e^{\beta (\epsilon - \mu)} \gg 1$$

Kurz gesagt, die Beschränkung der Teilchenzahl erfordert eine Temperaturabhängigkeit des chemischen Potentials, was wiederum bei hohen Temperaturen zu einer MB-Statistik führt.

Ich werde diesen Q&A-Stil machen, da ich gerade erkannt habe, was die Antwort ist. Zunächst einmal möchte ich mich bei den Leuten entschuldigen, die ich für die gedisst habe

$$\frac{\epsilon -\mu}{T} >> 1$$ antworten. Ohne Kommentar, es ist etwas verwirrend, aber eigentlich richtig, muss die obige Beziehung für alle Energiezustände gelten, also am liebsten für die niedrigste Energie $\epsilon_{min}$. Wenn wir vernachlässigen $\epsilon_{min}/T\approx 0$, wir haben $$T \ll -\mu$$ Das heißt, in bestimmten Fällen kann die Maxwell-Boltzmann-Verteilung tatsächlich eine untere Temperaturgrenze sein (siehe die letzten beiden Absätze). Für eine hohe Temperaturgrenze muss diese hierarchische Struktur immer erfüllt sein $$1 \ll T \ll -\mu$$

Was jedoch oft zur Sprache kommt, ist die Tatsache, dass wir eigentlich an einem geschlossenen System im Gleichgewicht interessiert sind (kanonisches Ensemble). Dazu müssen wir den Ausdruck umkehren

$$N = \int_0^\infty \frac{D(\epsilon)}{e^{(\epsilon - \mu(N,V,T,...))/T}\pm 1} d\epsilon$$ Um die Funktion zu bekommen $\mu(N,V,T,...)$. Dies ist jedoch bei jedem System sehr unterschiedlich, sodass wir nicht pauschal sagen können, wie das Ergebnis aussehen könnte. Zum Beispiel für eine Wohnung $D(\epsilon)=1$wir bekommen $$N = \pm T log(\pm e^{\frac{\mu}{T}}+1)$$ Vorausgesetzt $-\mu/T \gg 1$und später die Selbstkonsistenz überprüfen, erhalten wir $$N \approx \pm T(1 \pm e^{\frac{\mu}{T}}), \to -\frac{\mu}{T} = - log(\frac{N}{T}\pm 1)$$ Jetzt offensichtlich für $T \to \infty$, $-\mu/T \to 0$für Fermi-Dirac und wird für Bose-Einstein undefiniert (Selbstkonsistenz - nein). Daher ist es wirklich schwierig, diese Gleichung selbst für die einfachen Dichten umzukehren, und die hierarchische Struktur kann nur erhalten werden, wenn $-\mu/T$wächst mit $T$. Ich glaube, dass die hohe Temperaturgrenze auch neben einer anderen gleichzeitigen Grenze wie einer niedrigen Anzahldichte wie vom Benutzer tpg2114 erwähnt genommen werden muss und für ein generisches System nicht nachgewiesen werden kann.

Nun zu den Fällen, wo die Maxwell-Boltzmann-Statistik tatsächlich eine Tieftemperaturgrenze ist. Dies gilt beispielsweise für ein Mehrkomponentensystem, in dem "chemische" Reaktionen stattfinden (dies kann Kernreaktionen und Teilchenveränderungen wie in der frühen Kosmologie umfassen). In diesen Systemen werden die chemischen Potentiale der Komponenten durch die Energiefreisetzungen bei den Reaktionen fixiert. In ähnlicher Weise haben wir in einem offenen System ein chemisches Potential, das durch das externe Reservoir festgelegt ist. Dann, wenn der Unterschied$(\epsilon_{min}-\mu)$positiv ist, erhalten wir tatsächlich die Maxwell-Boltzmann-Verteilung für niedrige Temperaturen

$$T \ll \epsilon_{min}-\mu$$ ZB für Photonen wo $\mu=0$, könnten wir Maxwell-Boltzmann eigentlich nur für einen sehr kleinen Hohlraum bei sehr niedriger Temperatur seit der niedrigsten Mode des Photons verwenden $\epsilon_{min} \sim V^{-1/3}$.

Zusammenfassend in einem großkanonischen Ensemble mit festem $\mu$(d. h. sie ändert sich im Begrenzungsprozess nicht), kann die Maxwell-Boltzmann-Statistik niemals als obere Temperaturgrenze verwendet werden.

Der Tieftemperaturfall wird z. B. in der Teilchenkosmologie durchgeführt. Als ich diesen Artikel (Gl. 2.20 a) las, stieß ich auf das „Paradoxon“, dass die Maxwell-Boltzmann-Statistik verwendet werden kann, weil die Temperatur niedrig ist, und musste diese Frage stellen.