Ursprung konjugierter Variablen in physikalischen Theorien

Dies könnte am besten beantwortet werden, indem Sie Ihre früheren Beispiele (Position und Impuls) und Ihre letzteren Beispiele (Volumen und Druck usw.) getrennt betrachten. Siehe diese Frage , warum ich diese separat betrachte.

Die erste Reihe von Beispielen (aus der Hamiltonschen Mechanik) hat ihre Wurzeln in Pontryagin-Dualitäten . Der Beweis dieses Konzepts ist ein bisschen detailliert, aber es läuft im Wesentlichen darauf hinaus, zu versuchen, die Bedingungen zu finden, unter denen$\mathcal{F}(\mathcal{F}(f))$ist äquivalent zu$f$auf gewisse Art und Weise. Dies gilt übrigens für alle kompakten abelschen Gruppen. Und zufällig ist die Position auch das Pontryagin-Dual des Impulses und umgekehrt.

Die zweite Reihe von Beispielen (aus der Thermodynamik) taucht auf, wenn wir Gleichgewichtsverteilungen in der Thermodynamik betrachten. In diesem Fall ist nichts „Besonderes“ daran, dass diese Variablen paarweise auftreten. Betrachten Sie zum Beispiel die innere Energiegleichung für ein kanonisches Ensemble, die es mit Entropie (S), Volumen (V), Temperatur (T) und Druck (p) in Beziehung setzt:

$$\mathrm {d} U=T\,\mathrm {d} S-p\,\mathrm {d} V$$ Sie können sehen, dass Temperatur und Druck nur die „Proportionalitätskonstanten“ der Änderungen der Entropie und des Volumens in dieser Gleichung sind. Warum Temperaturänderungen zu Änderungen der Entropie (Wärmeübertragung) führen, liegt am zweiten Hauptsatz der Thermodynamik, der versucht, die Entropie des Systems plus des Bades zu erhöhen. Wenn das System leicht aus dem Gleichgewicht getrieben wird, zum Beispiel durch Erhöhen $T$des Bades um einen sehr kleinen Betrag, wird etwas Entropie ausgetauscht und das System äquilibriert sich wieder.

Es gibt eine andere Art von Beziehung zwischen Temperatur und Wärme, sagen wir, und Ort/Impuls. Während verallgemeinerter Impuls und Ort durch reziproke Differentialgleichungen zusammenhängen, gilt dies nicht für Temperatur und Wärme.