Warum −iℏ∇⃗ −iℏ∇→-i\hbar\vec\nabla für Impuls in der Quantenmechanik, während mv⃗ mv→m\vec{v} in der klassischen Mechanik?

Ich bin etwas verwirrt, wenn ich an die Impulsdarstellung in QM und CM denke.

Im QM wird Momentum dargestellt als − ich ℏ ∇ → , während in der Klassik Momentum als dargestellt wird M v → .

Zumindest, woher kommt die Masse M in CM weg, wenn trifft QM bitte?

Einmal sah ich einen Satz wie "Was die Quantentheorie wirklich vereint, ist Materie und Information" aus der PPT-Datei von Prof. Xiao-Gang Wen. Obwohl ich diesen Satz im Moment überhaupt nicht verstehe.

Nun, der Zwischengedanke bei der Entwicklung dieses Impulsoperators war die De-Broglie-Beziehung, Impuls = h/Wellenlänge. Von da an wird die Verbindung offensichtlich.
Vielen Dank, dass Sie mir das Schlüsselwort "De-Broglie-Beziehung" mitgeteilt haben, das in der Tat hilft, das Momentum besser zu verstehen.

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− ich H ∇ ist der Impulsoperator . Sie müssen es auf eine Wellenfunktion anwenden, um den tatsächlichen Impuls zu erhalten.

Betrachten Sie die ebene Wellenlösung der Schrödinger-Gleichung: Ψ = e ich k ⋅ R − ω T . Die Anwendung des Impulsoperators ergibt − ich H k Ψ . Sie können sehen, dass der Eigenwert Impulseinheiten hat. (Wenn Sie es nicht sehen können, beachten Sie das k ⋅ R im Exponenten ist dimensionslos, also klar k hat Einheiten umgekehrter Länge. H hat Einheiten des Drehimpulses, also H k hat Impulseinheiten.)

Soweit die Masse des Teilchens einfließt, steht sie in der Schrödinger-Gleichung (und damit bezogen auf die Wellenfunktion): ich H ∂ ∂ T Ψ ( R , T ) = [ − H 2 2 M ∇ 2 + v ( R , T ) ] Ψ ( R , T )

Insbesondere ist die klassische Beziehung zwischen Impuls und kinetischer Energie E = P 2 2 M . (Das ist das gleiche wie bei dir M v , für E = 1 2 M v 2 .) Hinweis für die freien Teilchen in der Quantenmechanik, es ist dasselbe. E Ψ = − H 2 2 M ∇ 2 Ψ = ( − ich H ∇ ) 2 2 M Ψ = P 2 2 M Ψ

I) Einerseits − ich ℏ ∇ ist die Schrödinger-(Orts-)Darstellung des kanonischen/konjugierten Impulsoperators P ^ um die CCR zu erfüllen

(1) [ X ich , P J ]   =   ℏ 1   δ J ich .

II) Andererseits M v ^ ist der kinetische/mechanische Impulsoperator. (Stellen wir uns der Einfachheit halber eine nicht-relativistische Umgebung vor.)

III) Diese beiden Impulskonzepte sind nicht gleich, beispielsweise in Gegenwart eines elektromagnetischen Felds, siehe z . B. diese Phys.SE-Antwort.

IV) Nehmen wir nun an, wir befinden uns in einer Situation, in der der kanonische/konjugierte Impulsoperator P ^ und der kinetische/mechanische Impulsoperator M v ^ übereinstimmen. Dann können wir den Geschwindigkeitsoperator darstellen als

(2) v ^   =   ℏ ich M ∇

in der Schrödinger (Positions-) Vertretung.

Warum −iℏ∇⃗ −iℏ∇→-i\hbar\vec\nabla für Impuls in der Quantenmechanik, während mv⃗ mv→m\vec{v} in der klassischen Mechanik?
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