Was bedeutet ein komplexer Impuls in der klassischen Mechanik?

Wenn Sie eine Differentialgleichung lösen, erhalten Sie keine einzelne Lösung, sondern eine Familie von Lösungen. Die Auswahl der Lösung, die Ihr System beschreibt, erfolgt durch Vorgabe der Randbedingungen, z. B. Anfangsposition und Geschwindigkeit.

Sie geben das Beispiel eines harmonischen Oszillators, bei dem eine Lösung lautet:

$$x(t)=x_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$$

Aber:

$$x(t)=x_0\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}$$

ist auch eine Lösung, und da die Gleichung linear ist, ist eine Summe (oder Differenz) der beiden auch eine Lösung. Angenommen, wir finden die Position unter$t = 0$Ist$x_0$und die Geschwindigkeit bei$t = 0$Null ist, dann können wir diese Anfangsbedingungen verwenden, um die Gleichung für unser System zu finden, und wir erhalten:

$$x(t) = \frac{x_0}{2}(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t} )$$

Und das ist natürlich nur:

$$x(t) = x_0 \cos(\omega t)$$

Das heißt, unsere realen Anfangsbedingungen haben eine reale Bewegungsgleichung bestimmt, obwohl wir komplexe Funktionen als unsere Lösungen verwendet haben. Und ich denke, so sollte man die Situation betrachten. Wenn wir komplexe Werte als Anfangsbedingungen hätten, müssten wir erwarten, dass die Bewegungsgleichung komplexe Observable liefert. Das Experiment legt jedoch nahe, dass wir niemals Anfangsbedingungen erhalten, die komplexe Werte sind, sodass wir niemals erwarten würden, dass die Bewegungsgleichung komplexe Observablen vorhersagt.

Wenn wir es so betrachten, reduziert sich Ihre Frage darauf, ob komplexe Anfangsbedingungen unphysikalisch sind. Darauf gibt es keine Antwort, außer zu sagen, dass wir in den Tausenden von Jahren, in denen Physiker Messungen durchgeführt haben, noch nie eine komplexwertige Anfangsbedingung beobachtet haben. Das beweist nicht, dass komplexwertige Observablen unphysikalisch sind, aber die meisten von uns würden es als vernünftige Arbeitshypothese ansehen.

Wir modellieren oft Oszillatoren mit komplexen Exponentialen und ignorieren einfach die imaginäre Komponente

Zu sagen, dass wir Oszillatoren auf eine bestimmte Weise modellieren, bedeutet, dass wir behaupten, dass sie so sind. Das passiert hier überhaupt nicht. In der klassischen Mechanik sind die Phasenraumkoordinaten des Oszillators reellwertige Funktionen der Zeit, die Differentialgleichungen erfüllen, deren komplexe Lösungen leicht gefunden werden können, und deren reellwertige Funktionen am einfachsten gefunden werden, wenn man die komplexen kennt und feststellt, dass diese Gleichungen linear sind.

Wir haben oft komplexe Wellenzahlen und Frequenzen, die wir als gedämpfte Bewegung interpretieren.

Wellenzahlen, Frequenzen etc. können beliebig definiert werden. Wie definieren wir sie gerne ? In gewisser Weise ist das nützlich. Es ist nützlich zu definieren$e^{ikx}$als mit Wellenzahl$k$, selbst wenn$k\in\Bbb C\setminus\Bbb R$. Aber körperlich, die Auswirkungen von$k\in\Bbb R,\,k\in i\Bbb R,\,k\in\Bbb C\setminus(\Bbb R\cup i\Bbb R)$sind entscheidend verschieden.

Woher wissen wir, dass das hier gefundene imaginäre Momentum wirklich bedeutungslos ist?

Denn wenn Sie das Momentum messen, ist es real. Das ist die Entscheidung der Natur.

Gibt es einen rigorosen Weg zu sagen, wann die komplexe Natur berechneter Observablen darauf hinweist, dass diese Berechnungen einen physikalisch nicht realisierbaren Zustand vorhersagen?

Wenn Sie mit "rigoros" meinen, "das sagt die Theorie", ist das offen für den Einwand "warum ist das unsere Theorie?" Unter dem Strich wird immer erklärt, was beobachtet wird, was eine Kompatibilität mit demselben impliziert.

Wenn Sie komplexe Zahlen verwenden müssen , dann liegen Sie falsch, wie in Can one do the maths of physics without using angedeutet wird$\sqrt{-1}$?

Das scheint keine Antwort dort zu sagen. Die Physik setzt nicht voraus, dass einige mathematische Objekte tabu sind; es kümmert sich nur darum, ob Vorhersagen empirisch richtig sind.

Einführende Lehrbücher haben die Aufgabe, dem Anfänger in relativ kurzer Zeit viel Wissen zu vermitteln. Dabei müssen sie sich allerlei Metaphern bedienen, um die Fakten einprägsam zu machen. Nur ein kleiner Bruchteil der Studenten würde bei einem Buch bleiben, das alles auf Axiomen aufbaut und alle Vorannahmen in langweiligen Details auflistet wie ein Mathematikbuch (eigentlich wünschen sich die Mathe-Jungs das oft, weil sie anders sozialisiert wurden, und sie sind verwirrt von all den unscharfen Annahmen, von denen sie noch nie gehört haben).

Das Problem beginnt, wenn eine der Mnemoniken zu ernst genommen wird. Dann wird der Lernende stecken bleiben, weil er denkt, dass es einen Sinn haben muss, was diese oder jene Autorität behauptet, wahr zu sein.

Zwei Dinge in Ihrer Frage fallen in Bezug auf das, was ich oben gesagt habe, ins Auge:

1. die Behauptung, imaginäre Größen seien "unphysikalisch"
2. der Ausdruck$p=\sqrt{\dots}$was angeblich die "klassische Formel für Impuls" ist

Zu 1) , die imaginäre Einheit ist nichts Besonderes, wenn es um Physik geht. Die Mathematiker können mit komplexen Zahlen alle möglichen interessanten und sinnvollen Sachen machen. Für einen Physiker zählt aber, ob die mathematischen Größen in der Lage sind, Messungen (zumindest indirekt, zB über die Wahrscheinlichkeitsamplitude in der QM) so darzustellen, dass Vorhersagen oder zumindest Korrelationen möglich sind. Sie können die imaginäre Einheit einfach als reelle Matrix darstellen

$$i=\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right)$$ Wie Sie leicht überprüfen können,$i^2=-1$Wo$1$bezeichnet die Einheitsmatrix in 2D. Würden Sie sagen, dass Matrizen auf etwas „physisch Illegales“ hinweisen? Sicherlich nicht. Und wie sich herausstellt, ist die obige Matrix der infinitesimale Generator (sozusagen die Tangente) von Rotationen, und daher können Sie zweidimensionale Rotationen am natürlichsten durch Einheitskomplexzahlen beschreiben (Sie können sogar 3D-Rotationen durch eine Verallgemeinerung beschreiben von komplexen Zahlen, Quaternionen genannt!). Der harmonische Oszillator ist eine solche Rotation: Energie „rotiert“ gewissermaßen zwischen kinetischer und potentieller Energie, oder genauer gesagt, das System rotiert zwischen maximaler Geschwindigkeit und maximaler Auslenkung. Die Tatsache, dass Sie für eine solche Drehung zwei Freiheitsgrade haben, spiegelt die Tatsache wider, dass der Oszillator zweiter Ordnung ist.

Das ist nur ein Beispiel dafür, wie die imaginäre Einheit eine physikalische Größe darstellen kann. Wenn Sie dagegen mit der Annahme realer Koordinaten und der Lösung Ihrer Differentialgleichung oder was auch immer komplexe oder imaginäre Koordinaten ergibt, beginnen, haben Sie die Mühe zu erklären, was das messtechnisch bedeutet. Normalerweise ist man nicht geneigt anzunehmen, dass eine komplexe Position die Existenz einer Art Extra-Dimension bedeutet. Ockhams Rasiermesser verlangt, dass wir zuerst die einfachste Erklärung prüfen. Und im Fall des harmonischen Oszillators können wir einfach immer reelle Lösungen wählen und überlagern, warum also willkürlich komplexe Lösungen wählen? In diesem Sinne sind komplexe Lösungen des harmonischen Oszillators unphysikalisch: Wir brauchen sie nicht, um die Realität zu erklären, aber wir können sie verwenden, wenn wir erklären, was ihre Verwendung bedeutet (nämlich Superposition zweier orthogonaler Lösungen in einem sehr praktischen komplexen Exponentialausdruck). Bei der Quantenmechanik ist das ganz anders: Wir können die „Quantenrealität“ nicht durch eine einwertige reelle Wellenfunktion erklären. Wir müssen verwenden$i$(oder eine äquivalente Matrix), damit alles zusammenpasst. Die imaginäre Einheit ist also in der Quantenmechanik nicht unphysikalisch, zumindest nicht im gleichen Sinne wie in der klassischen Mechanik. Sie ist jedoch teilweise redundant, da sie mit der Eichsymmetrie des elektromagnetischen Feldes zusammenhängt. Wenn wir die elektromagnetischen Potentiale anders messen, können wir teilweise die Phase der Wellenfunktion ändern (was ihre komplexe Natur bestimmt), aber das ist nur bis zu$2\pi$Drehungen.

Zu 2) gibt es viele Beziehungen in der Quantenmechanik, die verdächtig "klassisch" aussehen, und es gibt auch viele Beziehungen in der Quantenmechanik, die in krassem Widerspruch zur klassischen Mechanik stehen. Nur weil eine beliebige Formel wie eine klassische aussieht, wenn Sie die richtigen Buchstaben des Alphabets verwenden, heißt das nicht, dass die Größen, die sie darstellen, die gleichen sind, die Sie in einem Experiment messen können. Schließlich sind es nur Buchstaben. Ersetzen$p$von$R$und es sieht nicht mehr so ​​faszinierend aus. Der Grund, warum die Autoren sich entschieden haben, das Zeug auf diese Weise zu präsentieren, war, den Leser aufzuwecken und ihm zu sagen: „Hey Mann, in dieser Quantenmechanik liegt ein Goldschatz, und wenn Sie das ausgraben, werden Sie es sein reich".

Eigentlich gibt es in der Quantenmechanik keinen "klassischen Impuls", und insbesondere ein imaginärer Impuls ist in der Quantenmechanik bedeutungslos. Vielleicht können Sie diesen imaginären klassischen Impuls verwenden, um andere Dinge schön zu beschreiben (z. B. den Tunneleffekt, wenn "klassischer Impuls" imaginär wird), aber diese Beschreibungen sind nur in einem begrenzten Kontext nützlich (sonst bräuchten wir QM überhaupt nicht) . Daher repräsentiert die von Ihnen angegebene Formel kein Momentum. In der QM kann der Impuls eines bestimmten Zustands des Systems nur als eine Menge von Wahrscheinlichkeitsamplituden definiert werden$\langle p|\psi\rangle$(die Fourier-Komponenten der Wellenfunktion, dargestellt durch die Eigenzustände$|p\rangle$des Impulsoperators) für die möglichen Impulsmessungen. Wenn Sie das System messen, ist die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten Impulswert zu erhalten, das Quadrat der Wahrscheinlichkeitsamplitude. Der Satz von Ehrenfest verbindet das mit der klassischen Mechanik, indem er sich mit den Erwartungswerten befasst, aber das gilt nur für eine große Anzahl wiederholter Messungen am selben System (oder das Messen eines Ensembles äquivalenter Systeme). Der Impuls einer einzelnen Messung ist unbestimmt (es sei denn, das System befindet sich in einem Impuls-Eigenzustand, den Sie durch Bezugnahme auf die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung mit einem Potential ausgeschlossen haben).

Also, zusammenfassend das Obige und kurze Antwort auf Ihre Frage: Die imaginäre Einheit hat in der klassischen Mechanik keine vordefinierte Bedeutung. Es kann alles sein, was Sie wollen und was es mathematisch darstellen kann (wie Rotationen im Phasenraum, Rotationen im physikalischen Raum usw.). Daher ist es per se überhaupt nicht unphysisch, es sei denn, Sie haben die "Unphysizität" darin konstruiert, indem Sie einen bloßen mathematischen Formalismus verwenden.

Ich glaube nicht, dass komplexe Größen in der Physik ein Warnsignal sind. Mathematik ist eine Reihe von Werkzeugen, und wir müssen ihnen kein ontologisches Gewicht zuweisen, die Frage sollte sein, ob sie die Physik vereinfachen und/oder klären.

Außerdem lässt sich nicht alle Mathematik auf reelle Zahlen reduzieren. Beispielsweise verwendet die Kategorientheorie oder die Mengenlehre Zahlen nicht in wesentlicher Weise.