Hängt Quantentunneln mit der imaginären Zeit zusammen?

Ja, die beiden sind eng miteinander verbunden. Ein Weg, wie in der Antwort von QMechanic , ist über Wick-Rotationen, aber im Allgemeinen gibt es viel mehr Freiheit, wenn Sie zulassen, dass Integrationskonturen in die komplexe Ebene übergehen. In meinem Bereich, der Starkfeldphysik, ist die Verwendung komplexer Zeit zum Verständnis von Tunnelbauproblemen für viele Menschen alltäglich und die einzige Möglichkeit, semiklassische Modelle für Tunnelbausituationen zu verwenden.

Tunnelionisation ist das, was passiert, wenn man ein Atom mit einem sehr starken Laserfeld sehr niedriger Frequenz trifft. Die Frequenz$\omega$des Feldes muss viel kleiner sein als das Ionisationspotential$I_p=\tfrac12\kappa^2$des Atoms, was bedeutet, dass man viele Photonen braucht, um es zu ionisieren, aber für solche langsam veränderlichen Felder sieht das physikalische Bild etwas anders aus. Wenn der (sogenannte) Keldysh-Parameter

$$\gamma=\frac{\kappa \omega}{E_0}$$ (wo $E_0$ist das elektrische Spitzenfeld des Lasers, wobei atomare Einheiten angenommen werden) kleiner als eins ist, dann ist es sinnvoller, in Begriffen eines quasistatischen Bildes zu denken. Das bedeutet, dass Sie das Dipolpotential des Lasers berücksichtigen, $V_L=-\mathbf E·\mathbf r$, als festes Potential, das zum Atompotential addiert wird und sich langsam mit der Zeit ändert.

An der Spitze des Feldes biegt dieses hinzugefügte lineare Potential die gesamte Potentialoberfläche tief genug, um eine Barriere zu bilden, durch die Atomelektronen (insbesondere diejenigen auf dem höchsten besetzten Atomorbital) tunneln können.

Die Tunnelraten hängen sehr empfindlich von der Höhe und Breite der Barriere ab, was im Wesentlichen bedeutet, dass das Feld sehr stark sein muss (d. h. in der Größenordnung von$0.01\:\text{a.u.} \approx 5\times 10^9 \text V/\text m$) damit das passiert.

Die ersten, die das erkannten, waren Keldysh,

LV Keldysh, Ionisation im Feld einer starken elektromagnetischen Welle. Sov. Phys. JETP 20 Nr. 5, 1307–1314 (1965) ( pdf ) [ Zh. Eksp. Teor. Fiz. 47 , 1945 (1964)].

und die Jungs, die jetzt als PPT bekannt sind,

AM Perelomov, VS Popov, MV Terent'ev, Ionisation von Atomen in einem elektrischen Wechselfeld. Sov. Phys. JETP 20 Nr. 5, 924-934 (1966) ( pdf ) [ Zh. Eksp. Teor. Fiz. 50 , 1393 (1966)].

Ihre Arbeit ist nicht besonders einfach zu lesen, aber sie entspricht ziemlich den halbklassischen WKB-Linien, auf die Sie in Ihrer Frage hinweisen.

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In jüngerer Zeit hat sich dieses Verständnis jedoch zu dem Bild herauskristallisiert, das als Quantenbahnansicht von Starkfeldphänomenen bekannt ist. Eine gute Bewertung ist

P. Salières et al. , Feynmans Pfad-Integral-Ansatz für intensive Laser-Atom-Wechselwirkungen. Wissenschaft 292 nr. 5518, 902–905 (2001) .

und ich werde versuchen, einen Vorgeschmack darauf zu geben, wie sich das Feld insgesamt anfühlt.

Stellen Sie sich also ein Atom vor, das sich anfänglich in seinem Grundzustand befindet$|g⟩$mit Energie$E_g=-I_p=-\tfrac12\kappa^2$, die einem oszillierenden Potential ausgesetzt ist$V_L=-E_0z\cos(\omega t)$, was langsam ist (so$\hbar\omega\ll I_p$) und stark genug, um im Tunnelregime zu sein (so$\gamma=\kappa\omega/E_0<1$). In dieser Situation kann man in der Regel Multi-Elektronen-Effekte ignorieren und zumindest als erste Behandlung in der Single-Active-Electron-Näherung arbeiten.

Das Problem besteht also darin, die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung zu lösen

$$i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)⟩=\left[\frac{\mathbf p^2}{2m}+V_a(\mathbf r) +V_L\right]|\psi(t)⟩$$ unter der Ausgangsbedingung, dass $|\psi⟩=|g⟩$bevor der Puls beginnt. Leider ist dies in seiner vollen Form nicht analytisch möglich, aber man kann die beiden Teile des Hamiltonian trennen, um eine ziemlich praktikable Lösung zu erhalten. Dies ist als Strong Field Approximation bekannt und bedeutet im Wesentlichen, den Effekt der Anziehung des Ions zu vernachlässigen, sobald das Elektron ionisiert wurde, und den Einfluss tieferer Orbitale zu vernachlässigen. Dies bedeutet, dass Sie zwei ziemlich gute Näherungslösungen haben, je nachdem, ob sich Ihr Elektron noch im Grundzustand befindet. $$|\psi(t)⟩=e^{-iE_g t}|g⟩,\quad\text{with}\quad i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)⟩=\left[\frac{\mathbf p^2}{2m}+V_a(\mathbf r)\right]|\psi(t)⟩,$$ oder in einen Volkov-Zustand ionisiert wurde, $$|\psi(t)⟩=e^{\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}|\mathbf p+\mathbf A(t)⟩,\quad\text{with}\quad i\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)⟩=\left[\frac{\mathbf p^2}{2m}+V_L\right]|\psi(t)⟩,$$ wo $\mathbf A$ist das Vektorpotential des Feldes und $|\mathbf p +\mathbf A(t)⟩$ist eine ebene Welle mit Bewegungsimpuls $\mathbf k=\mathbf p+\mathbf A(t)$. Ich werde die Ionisationsamplitude zu einem asymptotischen Driftimpuls berechnen $\mathbf p$, also die interessierende Menge $⟨\mathbf p |\psi(\infty)⟩$.

Im Allgemeinen ist der Zustand des Elektrons eine Art Überlagerung dieser beiden Lösungen, sodass Sie schreiben können

$$|\psi(t)⟩=a(t)e^{-iE_g t}|g⟩+\int\text d\mathbf p \,b(\mathbf p,t) e^{\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}|\mathbf p+\mathbf A(t)⟩.$$ Sie setzen dies dann in das TDSE ein und streichen die offensichtlichen Begriffe, wodurch Sie die äquivalente Form erhalten $$\left\{ \begin{align} i\frac{d}{dt}a(t)&=a⟨g|V_L|g⟩+\int\text d\mathbf p \,b(\mathbf p,t) e^{+iE_g t}e^{\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨g|V_a|\mathbf p+\mathbf A(t)⟩ \\ i\frac{\partial}{\partial t}b(\mathbf p,t) & = a(t)e^{-iE_g t}e^{-\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨\mathbf p+\mathbf A(t)|V_L|g⟩ \\&\qquad +\int\text d\mathbf p'\,b(\mathbf p',t) e^{-\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}e^{\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p'+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨\mathbf p+\mathbf A(t)|V_a|\mathbf p'+\mathbf A(t)⟩. \end{align} \right.$$ Dies kann weiter vereinfacht werden, indem Kontinuum-Kontinuum-Übergänge (dh das Integral in der zweiten Gleichung) und die Grundzustandsverarmung (dh Einstellung $a(t)=1$in der zweiten Gleichung). (Beide können aufgehoben werden, aber es macht alles nur hässlicher.) Wenn Sie das tun, wird der TDSE endlich zu etwas Machbarem, $$i\frac{\partial}{\partial t}b(\mathbf p,t) = e^{-iE_g t}e^{-\frac i2 \int_t^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨\mathbf p+\mathbf A(t)|V_L|g⟩$$ und Sie können es integrieren, um es zu bekommen $$b(\mathbf p,\infty)=⟨\mathbf p|\psi(\infty)⟩ =-i\int_{-\infty}^\infty\text dt e^{iI_p t}e^{+\frac i2 \int^t_\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨\mathbf p+\mathbf A(t)|V_L(t)|g⟩$$ Nun, dieses Integral ist vollkommen in Ordnung und kann bei Bedarf numerisch durchgeführt werden, aber das zu tun ist ziemlich schmerzhaft, weil es sehr oszillierend ist. Ein typisches Beispiel sieht so aus:

^{(Vernünftige Parameter sind$E_0=0.05$,$\omega=0.055$und$I_p=0.5$in atomaren Einheiten. Das ist für$p_{||}=1$über 3/2 eines Laserzyklus.)}

Das ist schlecht, weil Sie eine sehr hohe Genauigkeit für jede der positiven und negativen Keulen des Integranden benötigen, um nur eine mittelmäßige Genauigkeit ihrer Differenz zu erhalten, so dass selbst in dieser vereinfachten Version das Problem numerisch schwierig ist. Dieses Schwingungsverhalten wird dadurch angetrieben, dass die$e^{iI_p t}$Term oszilliert viel schneller als die Laserzyklus-Zeitskalen (~$2\pi/\omega$), an dem die Integration stattfindet.

Der Weg, um daraus herauszukommen, ist die Sattelpunktmethode, bei der komplexe Zeiten ins Spiel kommen. Die Idee ist, die Integrationskontur in die komplexe Ebene zu verformen, um nach etwas zu suchen, das numerisch schöner ist, indem die oszillierende imaginäre Exponentialfunktion gedreht wird in schöne, abklingende reelle Exponentiale. Wenn dies gut genug gemacht wird, kann man die Integration sogar vollständig überspringen und einfach die Beiträge von der Spitze der resultierenden gaußschen Unebenheiten verwenden.

Der Weg, dies zu tun, besteht darin, nach Zeiten zu suchen$t_s$wobei die Ableitung des Exponenten verschwindet:

$$0=\frac d{dt}\left[I_p t+\frac 12 \int^t_\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau\right]_{t_s}=I_p+\frac12(\mathbf p+\mathbf A(t_s))^2.$$ Dies kann offensichtlich nicht in Echtzeit passieren, daher benötigen Sie eine komplexe Sattelpunktzeit, damit dies funktioniert.

Der endgültige Ausdruck für die Ionisationsamplitude ist dann von der Form

$$b(\mathbf p,\infty)=-i\sum_j\sqrt{\frac{2\pi}{i\mathbf(\mathbf p+\mathbf A(t_s^{(j)}))·\mathbf E(t_s^{(j)})}} e^{-\frac i2 \int_{t_s^{(j)}}^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}⟨\mathbf p+\mathbf A(t_s^{(j)})|V_L(t_s^{(j)})|g⟩e^{iI_p t_s^{(j)}},$$ wo Sie über alle relevanten Sattelpunkte summieren - typischerweise einen für jedes Feldmaximum.

Das Ergebnis all dessen ist, dass die Ionisationsamplitude nun in einem halbklassischen Bild intuitiv verstanden werden kann:

• Das Elektron sitzt glücklich im Grundzustand, Akkumulationsphase, bis zur Sattelpunktzeit$t_s$, und es akkumuliert eine Phase$e^{iI_p t_s}$bis dann.

• Die Sattelpunktzeit lässt sich leicht als Ionisationszeit interpretieren, zu der das Elektron einen Dipolübergang in den Kontinuumszustand vollzieht$|\mathbf p+\mathbf A(t_s)⟩$, mit einer Übergangsamplitude

  $$\sqrt{\frac{2\pi}{i\mathbf(\mathbf p+\mathbf A(t_s))·\mathbf E(t_s)}} ⟨\mathbf p+\mathbf A(t_s)|V_L(t_s)|g⟩.$$

• Danach ist das Elektron frei im Laserfeld und reichert die Phase an$e^{-\frac i2 \int_{t_s}^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}$.

Noch besser ist, dass das Elektron, sobald es freigesetzt ist, einfach entlang der halbklassischen Flugbahn vom Ursprung wegfliegt

$$\mathbf r_\text{cl}(t)=\int_{t_s}^t (\mathbf p+\mathbf A(\tau))\,\text d\tau.$$

Alles ist also schön und glänzend, und es funktioniert perfekt, außer dass ... die Barriere auf mysteriöse Weise verschwunden ist. Obwohl dies ein Tunnelproblem ist, scheint das Elektron einfach an dem Bereich vorbeizuspringen, in dem die Barriere sein sollte.

Die Lösung ist genau das, was Sie in der Frage beschreiben: zum Tunnelzeitpunkt$t_s$, und für einige Zeit danach die kinetische Energie$\tfrac12(\mathbf p+\mathbf A(t))^2$ist negativ (und gleich$-I_p$bei$t_s$selbst), was bedeutet, dass die Geschwindigkeit imaginär ist, aber auch die Zeit imaginär ist und die beiden zusammen eine (meistens) reale Verschiebung ergeben. Sobald die Zeit die reale Achse erreicht hat, sind Sie im Wesentlichen aus der Barriere heraus.

Eine Sache, die zu beachten ist, ist, dass ich meistens durch meine Zähne lüge, wenn ich in den Aufzählungspunkten oben „Phase“ sage. Denn die Sattelpunktzeit$t_s$ist komplex, die 'Phasen'$e^{iI_p t_s}$und$e^{-\frac i2 \int_{t_s}^\infty (\mathbf p+\mathbf A(\tau))^2\text d\tau}$sind keine rein komplexen Exponentiale, daher haben ihre Exponenten beträchtliche und negative Realteile, was sie im absoluten Wert sehr klein macht. Hier drückt sich die Unwahrscheinlichkeit des Tunnelns in diesem Formalismus aus und ist der Hauptkontrollfaktor für die Ionisationsrate.

Nun, wie in den Kommentaren darauf hingewiesen wurde, kann diese Verwendung der komplexen Zeit definitiv einfach als mathematischer Trick ohne physikalische Bedeutung angesehen werden. Dies ist sicherlich die Ansicht von Teilen der starken Feldgemeinschaft, und es gibt eine gesunde Debatte über die Angelegenheit; zumindest kann man sagen, dass wir das nicht so gut verstehen, wie wir es gerne hätten.

Es hat jedoch eine gewisse Nettigkeit, und es scheint irgendwie zu passen. Was bedeutet die komplexe Zeit? Zerlegt man es in seinen Real- und Imaginärteil so$t_s=t_0+i\tau_T$, dann haben sie jeweils eine separate und unterschiedliche Rolle. Wenn Sie von integrieren$t_s$bis auf seinen Realteil$t_0$, stellt sich heraus, dass die semiklassische Position$\mathbf r_\text{cl}(t_0)$ist weitgehend real und liegt direkt außerhalb der Tunnelbarriere, so dass es als der Zeitpunkt angesehen werden kann, an dem es in das Kontinuum auftaucht. (In der Tat kann man sehr erfolgreiche klassische Modelle erstellen, indem man diese einfach als Ionisationszeit nimmt, den Imaginärteil der semiklassischen Position außer Acht lässt und von dort aus klassisch fortpflanzt.)

Der imaginäre Teil$\tau_T$, hingegen taucht direkt in den Ionisationsamplituden auf und wird gut als „unter der Barriere verbrachte Zeit“ identifiziert, wenn so etwas Sinn macht. Beispielsweise hat die Querimpulsverteilung nach der Ionisation die Form$e^{-\tfrac12\tau_T p_\perp^2}$, was sehr gut mit der Tatsache zusammenpasst, dass man sich zusätzliche Energie leiht$\tfrac12p_\perp^2$für eine Zeit$\tau_T$wird den Prozess durch das Produkt der beiden weniger wahrscheinlich machen. Die beiden Schenkel der Integrationskontur, aus$t_s$zu$t_0$und von dort durch die reale Achse, haben sehr intuitive Interpretationen als "unter der Barriere" und "außerhalb der Barriere".

Es ist jedoch wichtig, im Hinterkopf zu behalten, dass Zeit zu einem viel komplizierteren Konzept wird, sobald Sie in die komplexe Ebene eintreten. Dieselbe Konturwahlfreiheit, die es Ihnen ermöglicht, eine komplexe Sattelpunktzeit zu wählen, macht auch jede Kontur dazwischen$t_s$und die endgültige Detektionszeit bei$t=\infty$gültig. Dies gilt im Wesentlichen immer dann, wenn Sie sich in komplexe Zeiten begeben, und es macht Quantenumlaufbahnen ein bisschen schwer zu verstehen.

Ich höre hier auf, aber ich hoffe, das reicht aus, um zu zeigen, dass die komplexe Zeit, abgesehen von den Fragen zu ihrer physikalischen Realität, tatsächlich ein wichtiges und nützliches Werkzeug für den Umgang mit Tunnelbauproblemen ist.

Ja, Quantentunneln im Doppelwannenpotential kann in einer Wick-rotierten euklidischen Formulierung gelöst werden

$$S_E[x]~=~\int \! dt_E \left[ \frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt_E}\right)^2 - (-V) \right],$$

siehe zB Lit. 1. Hier$t_E=it_M$bezeichnet die euklidische Zeit. Die euklidische Wirkung wird wiederum als der übliche kinetische Minuspotentialterm mit einem Potential interpretiert$-V$. So wird aus dem Doppelbrunnen ein Doppelhügel ohne klassisches Sperrgebiet dazwischen! Die nichttrivialen Lösungen heißen Instantonen .

Ein anderer Ansatz verwendet halbklassische WKB-Methoden auf der TISE . Im TISE gibt es natürlich keine imaginäre Zeit, aber im klassisch verbotenen Bereich gibt es imaginäre Wellenzahlen, vgl . zB Ref.-Nr. 2 und 3.

Verweise:

1. S. Coleman, Aspekte der Symmetrie, Abschnitt 7.2.

2. D. Griffiths, Einführung in QM, Kapitel 8.

3. A. Galindo & P. ​​Pascual, QM2, Kapitel 9.

In der Quantenmechanik ist Geschwindigkeit kein einfaches Konzept. Hier wird die Teilchenbewegung durch eine Welle ersetzt. Momentum ist in der Quantenmechanik einfacher zu definieren. Eine komplexe Welle$\exp(ikx)$beschreibt ein Teilchen mit Impuls$p=\hbar k$wo$\hbar$ist die Plancksche Konstante geteilt durch$2\pi$. Grundlegend in der Quantenmechanik ist, dass Impuls nicht streng lokal definiert werden kann, also an einem Punkt und seiner Umgebung. Es kann jedoch einen ungefähren Überblick über die Physik dazu geben.

In der Region CE, in der Nähe von C, kann die Welle typischerweise beschrieben werden durch$f(x)\exp(-\kappa (x)x)$, wo$f(x)$ist eine sich langsam ändernde Amplitude. Dann entspricht das Exponential dem Putten$k = -i\kappa$also der ungefähre lokale Impuls$p=\hbar k$wird imaginär. Sie sind also nicht zu weit von dieser Beschreibung entfernt, als Sie die Geschwindigkeit behaupteten$v=p/m$wird imaginär.

Es gibt viele Möglichkeiten, denselben Prozess zu beschreiben. Wie Sie vielleicht gelesen haben. Es gibt auch ungefähre Beschreibungen des quantenmechanischen Tunnelns, die für seine Beschreibung imaginäre Zeit verwenden. Soweit mir bekannt ist, beginnen solche Beschreibungen mit der Pfadintegralbeschreibung der Quantenmechanik, die mit der Näherung der stationären Phase angenähert wird. Dies ergibt eine Beschreibung, die der klassischen Mechanik ziemlich nahe kommt. In diesem Zusammenhang könnte man das Tunneln beschreiben, indem man die Zeit imaginär werden lässt.