Bedeutet die Zeitunabhängigkeit der potentiellen Energie die Zeitunabhängigkeit des Hamiltonoperators in der Quantenmechanik?

Betrachten Sie ein quantenmechanisches System für ein Teilchen mit Hamilton-Operator H ^ = P ^ 2 2 M + v ^ Wo v ^ ist der potentielle Energieoperator. und jetzt nehmen wir das mal an v ^ ist zeitunabhängig. Folgt es darauf H ^ ist zeitunabhängig?

Insbesondere interessiere ich mich für Potentialtöpfe/Potenzialbarrieren/ δ Potenziale, bei denen dies in jeder Behandlung, die ich bisher gefunden habe, verwendet zu werden scheint.

Meine Gedanken: Im Allgemeinen, da Wellenfunktionen von der Zeit abhängig sein können, können dies auch P ^ durch seine Definition und daher H ^ kann zeitabhängig sein. Allerdings frage ich mich ob v ^ Zeitunabhängigkeit ergibt bereits die Einschränkung, dass Wellenfunktionen nicht von der Zeit abhängen und damit P ^ auch nicht. Dies scheint eine Art Zirkelschluss zu sein, und ich bin mir nicht sicher, wie ich hier fortfahren soll.

P ^ ist ein Operator. Es kann auf Wellenfunktionen einwirken, aber warum sollte es sich mit der Zeit ändern, nur weil Wellenfunktionen mit der Zeit variieren können? Ich verstehe deinen Gedankengang hier nicht.
@ACuriousMind Ich denke, dass "Zeitunabhängigkeit" eines Operators T ^ bedeutet T ^ ψ ( X , T ) = T ^ ψ ( X , T ~ ) für alle Zeiten T Und T ~ . Oder bringe ich da was durcheinander?
Nein, das bedeutet Zeitunabhängigkeit nicht. Wir meinen normalerweise nur, dass der Operator nicht explizit von der Zeit abhängt.
@ACuriousMind Verstanden, danke! Wenn ich also richtig verstehe, H ^ im obigen ist wirklich zeitunabhängig.
@ACuriousMind ist das nicht rein mathematisch, zeigt keine Anstrengung von OP und sollte gemacht werden [geschlossen], aber das wird immer noch nicht geschlossen, aber ein Anstrengungsbeitrag wird geschlossen: /
@Aditya Diese Frage ist nicht rein mathematisch, denn was einen zeitabhängigen Operator ausmacht, ist eine wichtige physikalische Frage. Wenn Sie ein Problem damit haben, dass Ihre Frage geschlossen wird, wäre es produktiver, das Problem im Meta-Board anzusprechen , anstatt in Kommentaren zu völlig unabhängigen Fragen.

Antworten (1)

Vielleicht wäre es hilfreich, für einen Moment eine abstraktere Sichtweise einzunehmen.

Ein linearer Operator A ^ auf einem Hilbertraum H ist eine lineare Karte aus H → H . Wenn H = L 2 ( R ) , dann bestehen Elemente des Hilbert-Raums im Wesentlichen aus quadratintegrierbaren Funktionen einer reellen Variablen, die wir normalerweise als die Position eines Teilchens auf einer Linie interpretieren.

Beispiele für solche Operatoren könnten sein X ^ oder P ^ , die auf geeignete Vektoren einwirken F ∈ L 2 ( R ) andere Vektoren zu produzieren

( X ^ F ) ( X ) = X F ( X )
( P ^ F ) ( X ) = − ich ℏ F ' ( X )

Anders ausgedrückt, ein Operator ist nur eine Regel, um eine quadratintegrierbare Funktion zu nehmen und eine andere quadratintegrierbare Funktion auszuspucken.

Betrachten Sie im Gegensatz dazu die Familie der Operatoren Q ^ ( T ) die Vektoren fressen F ∈ L 2 ( R ) und ausspucken

( Q ^ ( T ) F ) ( X ) = ( X + T 2 ) F ( X )

Beachte das für jeden T , Q ^ ( T ) ist ein anderer Operator . Q ^ ( 0 ) ist nur X ^ , während Q ^ ( 1 ) multipliziert die Wellenfunktion mit ( X + 1 ) , Und Q ^ ( − 17 ) multipliziert die Wellenfunktion mit ( X + 289 ) , usw. Normalerweise telefonieren wir Q ^ ein zeitabhängiger Operator , was eine andere Art ausdrückt, dass die Regel, nach der Vektoren auf andere Vektoren abgebildet werden, für jeden Wert von unterschiedlich ist T .

Nachdem Sie diese Unterscheidung getroffen haben, wird die Antwort auf Ihre Frage klar. X ^ , die die Regel „multipliziere die Wellenfunktion mit X ," Und P ^ , die die Regel „Differenziere die Wellenfunktion und multipliziere mit − ich ℏ ," sind beide zeitunabhängig, da sich diese Regeln nicht mit der Zeit ändern. Ebenso, wenn der potentielle Energieoperator durch einige gegeben ist v ( X ^ ) die die Regel "multipliziere die Wellenfunktion mit v ( X ) “, dann ist es auch ein zeitunabhängiger Operator.

Im Gegensatz dazu ist der Operator (oder alternativ die Familie der Operatoren) U ( X ^ , T ) die die Regel "multipliziere die Wellenfunktion mit X + Sünde ⁡ ( T ) " ist zeitabhängig , da die Regel für verschiedene Werte von unterschiedlich ist T ; zum Beispiel, U ( X ^ , 0 ) kodiert die Regel "multipliziere die Wellenfunktion mit X " während U ( X ^ , π / 2 ) kodiert die Regel "multipliziere die Wellenfunktion mit X + 1 ".

Bedeutet die Zeitunabhängigkeit der potentiellen Energie die Zeitunabhängigkeit des Hamiltonoperators in der Quantenmechanik?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v