Problem mit dem Beweis des Satzes von Ehrenfest

Betrachten Sie ein harmonisches Potential mit einer Konstante$K$was explizit von der Zeit abhängt:

$$U(t,x) = \frac{K(t)}{2} x^2\:.$$ Als nächstes definieren $$A(t) := -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + U(t,x)\:.$$ Hier liefert die von Ihnen erwähnte Ableitung einen Beitrag. Eine andere Möglichkeit ist$m=m(t)$, was zu einer zeitlichen Abhängigkeit im kinetischen Energieoperator führt, die nicht wie gewünscht multiplikativ ist.

Gehen wir der Vollständigkeit halber den Beweis durch.

$$\frac{d\langle A \rangle}{dt} = \frac{d}{dt}\langle\psi|A|\psi\rangle$$

Die Anwendung der Produktregel ergibt

$$\frac{d}{dt}\langle\psi|A|\psi\rangle =\frac{d\langle \psi|}{dt}A|\psi \rangle + \langle \psi |\frac{dA}{dt} |\psi \rangle + \langle \psi| A \frac{d|\psi \rangle}{dt}$$

Um nun weitere Informationen zu enthüllen, betrachten wir die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung,

$$H|\psi \rangle=i\frac{d|\psi\rangle}{dt}$$

Wir können die ersten beiden Terme schreiben als:

$$\frac{d\langle \psi|}{dt}A|\psi \rangle + \langle \psi |\frac{dA}{dt} |\psi \rangle = i\langle\psi|HA|\psi\rangle + -i\langle\psi|AH|\psi\rangle$$ $$=i[H,A]$$

Damit haben wir den Satz von Erehnfest

$$\frac{d}{dt} \langle A \rangle = i[H,A] + \langle \psi|\frac{dA}{dt}|\psi \rangle$$

Einige Anmerkungen dazu, die Ihre Bedenken ansprechen:

Innerhalb des Schrödinger-Bildes nehmen wir an$A \neq A(t)$dh die ganze Zeitabhängigkeit ist im Zustand$|\psi\rangle = |\psi (t) \rangle$. Das heißt, die Ausdrücke vereinfachen sich zu nur dem Kommutator des Hamilton-Operators.

Aber wenn wir zum Heisenberg-Bild wechseln, dann gibt es eine explizite Zeitabhängigkeit vom Operator. Das bedeutet, dass die Ableitung wohldefiniert ist und daher berücksichtigt werden muss.