Ableitung des unitären Zeitentwicklungsoperators

Question

Ableitung des unitären Zeitentwicklungsoperators

DJA

Betrachten Sie den unitären Zeitentwicklungsoperator

U (T) = \exp (\frac{- ich H T}{ℏ})

$U(t) = \exp\left(\frac{-iHt}{\hbar}\right)$ und sein hermitisches Konjugat:

U (T)^{†} = \exp (\frac{ich H T}{ℏ})

$U(t)^{\dagger} = \exp\left(\frac{iHt}{\hbar}\right)$

Die Ableitungen dieser Operatoren sind wie folgt:

\frac{\partial U (T)}{\partial T} = \frac{- ich}{ℏ} H (T) U (T)

$\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \frac{-i}{\hbar}H(t)U(t)$

Und

\frac{\partial U (T)^{†}}{\partial T} = \frac{ich}{ℏ} U (T)^{†} H (T)

$\frac{\partial U(t)^{\dagger}}{\partial t} = \frac{i}{\hbar}U(t)^{\dagger} H(t)$

Meine Frage ist warum sind die $U(t)$ Und $H(t)$ in den Derivaten in der Reihenfolge, in der sie sind. Mit anderen Worten, warum sind die Ableitungen des Operators nicht die folgenden:

\frac{\partial U (T)}{\partial T} = \frac{- ich}{ℏ} H (T) U (T)

$\frac{\partial U(t)}{\partial t} = \frac{-i}{\hbar}H(t)U(t)$

Und

\frac{\partial U (T)^{†}}{\partial T} = \frac{ich}{ℏ} H (T) U (T)^{†}

$\frac{\partial U(t)^{\dagger}}{\partial t} = \frac{i}{\hbar} H(t)U(t)^{\dagger}$

Prahar

H

$H$ pendelt mit

U (t)

$U(t)$ die reihenfolge spielt also keine rolle.

Quantum Eyedea

@PraharMitra

H

$H$ pendelt mit

U (t)

$U(t)$ nur wenn der Hamilonianer zeitunabhängig ist (was fairerweise die Annahme in der Frage ist). Allerdings, wenn Sie eine zeitabhängige haben

H (t)

$H(t)$ Der Zeitentwicklungsoperator ist ein zeitlich geordnetes Exponential und

H (t)

$H(t)$ pendelt nicht mehr mit

U (t)

$U(t)$ (im Grunde liegt das daran, dass im Allgemeinen

H (t)

$H(t)$ pendelt nicht zu unterschiedlichen Zeiten mit sich selbst).

Prahar

@QuantumEyedea - Ich habe nichts über den allgemeinen Fall gesagt. Aus den Formeln in der Frage geht hervor, dass der betreffende Hamilton-Operator zeitunabhängig ist. Wenn es war,

U (t)

$U(t)$ würde nicht die gezeigte Form annehmen und wir bräuchten einen zeitordnenden Operator darin. Sobald Sie den Zeitordnungsoperator haben, könnten wir den Hamilton-Operator wieder in die Vergangenheit umwandeln, auf Kosten der Änderung der Zeiten, zu denen er ausgewertet wird. In diesem Fall wäre die Reihenfolge wichtig und die RHS wäre entweder

H (t) U (t, t^{'})

$H(t) U(t,t')$ oder

U (t, t^{'}) H (t^{'})

$U(t,t') H(t')$ und sie sind beide gleichwertig.

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Ableitung des unitären Zeitentwicklungsoperators

$H$ pendelt mit $U(t)$ die reihenfolge spielt also keine rolle.
@PraharMitra $H$ pendelt mit $U(t)$ nur wenn der Hamilonianer zeitunabhängig ist (was fairerweise die Annahme in der Frage ist). Allerdings, wenn Sie eine zeitabhängige haben $H(t)$ Der Zeitentwicklungsoperator ist ein zeitlich geordnetes Exponential und $H(t)$ pendelt nicht mehr mit $U(t)$ (im Grunde liegt das daran, dass im Allgemeinen $H(t)$ pendelt nicht zu unterschiedlichen Zeiten mit sich selbst).
@QuantumEyedea - Ich habe nichts über den allgemeinen Fall gesagt. Aus den Formeln in der Frage geht hervor, dass der betreffende Hamilton-Operator zeitunabhängig ist. Wenn es war, $U(t)$ würde nicht die gezeigte Form annehmen und wir bräuchten einen zeitordnenden Operator darin. Sobald Sie den Zeitordnungsoperator haben, könnten wir den Hamilton-Operator wieder in die Vergangenheit umwandeln, auf Kosten der Änderung der Zeiten, zu denen er ausgewertet wird. In diesem Fall wäre die Reihenfolge wichtig und die RHS wäre entweder $H(t) U(t,t')$ oder $U(t,t') H(t')$ und sie sind beide gleichwertig.

Der junge Kindaichi · Answer 1

[H, U (T)] = 0 \Rightarrow Egal :)

$[H,U(t)]=0\Rightarrow \text{Doesn't matter :)}$

Beachten Sie, dass

Allgemein U (T) \neq \exp (- \frac{ich H T}{ℏ})

$\text{In general } \ \ U(t)\not=\exp\left(-\frac{iHt}{\hbar}\right)$ Sie haben den zeitabhängigen Hamilton-Operator verwendet und oben ist für diesen Fall nicht gültig.

aakasch · Answer 2

Wir können es entweder tun, indem wir zuerst die Ableitung nehmen und dann die konjugierte Transponierte davon nehmen.

$(\partial U/\partial t)^\dagger$ = $(-{\frac\iota \hbar} \space U(t) \space H(t))^\dagger$ und wir wissen es $(AB)^\dagger$ = $B^\dagger \space A^\dagger$

Also bekommen wir,

$\frac {∂U(t)^†} {∂t}=\frac iℏU(t)^†H(t)$

so erhalten wir den Ausdruck. Wir können auch feststellen, dass es den exponentiellen Term erweitert und dann die konjugierte Transponierte der erweiterten Terme nimmt. So oder so wird es gleich kommen. Aber wie bereits erwähnt, pendelt H(t) mit U(t), sodass die Reihenfolge keine Rolle spielt, wenn H(t) als zeitunabhängig angenommen wird

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