Problem bei der Ableitung des Satzes von Ehrefest

Question

Problem bei der Ableitung des Satzes von Ehrefest

Sparsh Mishra

Nach dem Satz von Ehrenfest wissen wir das

\frac{D ⟨ Ω ⟩}{D T} = ⟨ [H, Ω] ⟩,

$\dfrac{\mathrm d \langle \Omega \rangle}{\mathrm dt} =\langle[H,\Omega]\rangle,$ Wo

Ω

$\Omega$ ist ein Operator und

H

$H$ ist der Quanten-Hamiltonoperator.

Ich würde gerne wissen, was in den folgenden Schritten falsch ist:

\begin{matrix} (1) & \frac{D ⟨ Ω ⟩}{D T} := \frac{D ⟨ ψ | Ω | ψ ⟩}{D T} = (\frac{\partial ⟨ ψ |}{\partial T}) Ω | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \frac{\partial (Ω | ψ ⟩ |)}{\partial T} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm d \langle \Omega \rangle}{\mathrm dt} := \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \left(\frac{\partial\langle\psi| }{\partial t} \right)\Omega|\psi\rangle + \langle \psi |\frac{\partial(\Omega|\psi\rangle|)}{\partial t} \tag{1} \end{equation}$ Verwenden der Produktregel,

\begin{matrix} (2) & \frac{D ⟨ ψ | Ω | ψ ⟩}{D T} = (\frac{\partial ⟨ ψ |}{\partial T}) Ω | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \frac{\partial (Ω | ψ ⟩ |)}{\partial T} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \left(\frac{\partial\langle\psi| }{\partial t} \right)\Omega|\psi\rangle + \langle \psi |\frac{\partial(\Omega|\psi\rangle|)}{\partial t} \tag{2} \end{equation}$ Schrödingers Gleichung besagt:

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial | ψ ⟩}{\partial T} = \frac{- ich H | ψ ⟩}{ℏ} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\partial|\psi \rangle}{\partial t} = \frac{-i H|\psi\rangle }{\hbar}\tag{3} \end{equation}$

Nehmen wir also die hermitische Konjugation (und da der Hamiltonian hermitesch ist):

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial ⟨ ψ |}{\partial T} = \frac{ich ⟨ ψ | H}{ℏ} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\partial\langle\psi| }{\partial t} = \frac{i \langle\psi|H }{\hbar} \tag{4} \end{equation}$ Wenden Sie nun die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung auf den Zustand an

Ω | ψ ⟩

$\Omega|\psi\rangle$ (Dies kann erfolgen als

Ω | ψ ⟩

$\Omega|\psi\rangle$ ist auch ein Zustand im Funktionenraum),

\begin{matrix} (5) & \frac{\partial Ω | ψ ⟩}{\partial T} = \frac{- ich H Ω | ψ ⟩}{ℏ} \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\partial\Omega|\psi \rangle}{\partial t} = \frac{-i H\Omega|\psi\rangle }{\hbar}\tag{5} \end{equation}$ Anwenden der Gleichungen 4,5 auf Gleichung 2,

\begin{matrix} (5) & \frac{D ⟨ ψ | Ω | ψ ⟩}{D T} = (\frac{ich ⟨ ψ | H}{ℏ}) Ω | ψ ⟩ + ⟨ ψ | \frac{- ich}{ℏ} H Ω | ψ ⟩ \end{matrix}

$\begin{equation} \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \left( \frac{i \langle\psi|H }{\hbar} \right)\Omega|\psi\rangle + \langle \psi| \frac{-i }{\hbar}H\Omega|\psi\rangle\tag{5} \end{equation}$ Wie wir beobachten können, gibt dies

\frac{D ⟨ ψ | Ω | ψ ⟩}{D T} = \frac{ich}{ℏ} ⟨ ψ | H Ω | ψ ⟩ - \frac{ich}{ℏ} ⟨ ψ | H Ω | ψ ⟩ = 0

$\begin{equation} \frac{\mathrm d\langle \psi | \Omega|\psi \rangle}{\mathrm dt} = \frac{i}{\hbar}\langle\psi|H \Omega|\psi\rangle - \frac{i}{\hbar}\langle\psi|H \Omega|\psi\rangle = 0 \end{equation}$ Dies widerspricht dem Satz von Ehrefest

Ω

$\Omega$ war ein Generaloperator. Ich vermute, dass einer meiner Schritte etwas prägnant angenommen hat, aber ich kann nicht herausfinden, was es ist.

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Problem bei der Ableitung des Satzes von Ehrefest

ZeroTheHero · Answer 1

Annehmen, dass $\Omega$ ist nicht explizit zeitabhängig. Damit wird Ihre (5).

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial}{\partial T} Ω | ψ ⟩ = Ω \frac{\partial}{\partial T} | ψ ⟩ = - \frac{ich Ω H}{ℏ} | ψ ⟩ \end{matrix}

$\frac{\partial}{\partial t}\Omega\vert\psi\rangle = \Omega\frac{\partial}{\partial t}\vert\psi\rangle=-\frac{i\Omega H}{\hbar} \vert\psi\rangle \tag{6}$ Wenn Sie Ihre (4) und meine (6) kombinieren, erhalten Sie das gewünschte Ergebnis.

Genauer gesagt ist der Fehler, dass, wenn $\vert\psi\rangle$ ist dann eine Lösung $\Omega\vert\psi\rangle$ ist in der Regel keine Lösung. Um dies zu sehen, bedenken Sie

| Ψ (T) ⟩ = A_{0} e^{- ich ω T / 2} | 0 ⟩ + A_{1} e^{- ich 3 ω T / 2} | 1 ⟩

$\vert\Psi(t)\rangle= a_0e^{-i \omega t/2} \vert 0\rangle +a_1 e^{-i 3\omega t/2} \vert 1\rangle$ mit

| n ⟩

$\vert n\rangle$ Die

n

$n$ 'ter harmonischer Oszillator ket. Dann klar

\begin{aligned} ich ℏ \frac{D}{D T} | Ψ (T) ⟩ & = \frac{ℏ ω}{2} A_{0} e^{- ich ω T / 2} | 0 ⟩ + \frac{3 ℏ ω}{2} A_{1} e^{- ich 3 ω T / 2} | 1 ⟩, \\ = \hat{H} | Ψ (T) ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar \frac{d}{dt}\vert\Psi(t)\rangle &= \frac{\hbar\omega}{2} a_0e^{-i \omega t/2} \vert 0\rangle +\frac{3\hbar\omega}{2} a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 1\rangle \, ,\\ &=\hat H\vert\Psi(t)\rangle \end{align}$ aber falls

\hat{X} = a + a^{†}

$\hat X=a+a^\dagger$ Dann

\begin{aligned} \hat{X} | Ψ (T) ⟩ & = e^{- ich 3 ω T / 2} A_{1} | 0 ⟩ + A_{0} e^{- ich ω T / 2} | 1 ⟩ + \sqrt{2} A_{1} e^{- ich 3 ω T / 2} | 2 ⟩, \\ \hat{H} \hat{X} | Ψ (T) ⟩ & = e^{- ich 3 ω T / 2} A_{1} \frac{1}{2} ℏ ω | 0 ⟩ + \frac{3}{2} ℏ ω A_{0} e^{- ich ω T / 2} | 1 ⟩ + \frac{5}{2} ℏ ω \sqrt{2} A_{1} e^{- ich 3 ω T / 2} | 2 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \hat X\vert\Psi(t)\rangle&= e^{-i 3\omega t/2} a_1\vert 0\rangle +a_0e^{-i \omega t/2} \vert 1\rangle +\sqrt{2}a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 2\rangle\, ,\\ \hat H\hat X\vert\Psi(t)\rangle&= e^{-i 3\omega t/2} a_1\textstyle\frac{1}{2}\hbar\omega\vert 0\rangle + \frac{3}{2}\hbar\omega a_0e^{-i \omega t/2} \vert 1\rangle + \frac{5}{2}\hbar\omega\sqrt{2}a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 2\rangle\\ \end{align}$ wohingegen

\begin{aligned} ich ℏ \frac{D}{D T} \hat{X} | Ψ (T) ⟩ & = \frac{3}{2} ℏ ω A_{1} e^{- ich 3 ω T / 2} | 0 ⟩ + \frac{1}{2} ℏ A_{0} e^{- ich ω T / 2} | 1 ⟩ + \frac{3 ℏ ω}{2} \sqrt{2} A_{1} e^{- ich 3 ω T / 2} | 2 ⟩ . \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar\frac{d}{dt}\hat X\vert\Psi(t)\rangle&= \textstyle\frac{3}{2}\hbar\omega a_1e^{-i 3\omega t/2}\vert 0\rangle + \frac{1}{2}\hbar a_0e^{-i \omega t/2} \vert 1\rangle +\frac{3\hbar\omega}{2}\sqrt{2}a_1e^{-i 3\omega t/2} \vert 2\rangle\, . \end{align}$

Bearbeiten: Beginnen Sie im Allgemeinen mit

\begin{aligned} | Ψ (T) ⟩ & = \sum_{N} | N ⟩ C_{N} e^{- ich E_{N} T / ℏ}, \\ (1) & Ω | Ψ (T) ⟩ & = \sum_{N M} | M ⟩ C_{N} Ω_{M N} e^{- ich E_{N} T / ℏ}, \end{aligned}

$\begin{align} \vert\Psi(t)\rangle&=\sum_n \vert n\rangle c_n e^{-iE_nt/\hbar} \, ,\\ \Omega\vert\Psi(t)\rangle&= \sum_{nm} \vert m\rangle c_n \Omega_{mn} e^{-iE_nt/\hbar}\, , \tag{1} \end{align}$ Wo

Ω_{m n} = ⟨ m | Ω | n ⟩

$\Omega_{mn}=\langle m\vert \Omega \vert n\rangle$ .

Beginnen Sie nun bei (1) und vergleichen Sie

\begin{aligned} (2) & ich ℏ \frac{D}{D T} Ω | Ψ (T) ⟩ & = \sum_{N M} | M ⟩ C_{N} Ω_{M N} E_{N} e^{- ich E_{N} T / ℏ}, \\ (3) & H Ω | Ψ (T) ⟩ & = \sum_{M N} | M ⟩ C_{N} Ω_{M N} E_{M} e^{- ich E_{N} T / ℏ} \end{aligned}

$\begin{align} i\hbar\frac{d}{dt}\Omega \vert\Psi(t)\rangle &= \sum_{nm} \vert m\rangle c_n \Omega_{mn} E_n e^{-iE_n t/\hbar} \, , \tag{2}\\ H\Omega\vert\Psi(t)\rangle&=\sum_{mn} \vert m\rangle c_n \Omega_{mn} E_m e^{-iE_nt/\hbar} \tag{3} \end{align}$ und Sie können sehen, dass der Unterschied zwischen (2) und (3) daher kommt

H

$H$ „sieht“

| m ⟩

$\vert m\rangle$ und gibt einen Faktor von zurück

E_{m}

$E_m$ aber die Ableitung w/r zu

t

$t$ „sieht“ den Faktor

e^{- i E_{n} t / ℏ}

$e^{-iE_nt/\hbar}$ und gibt so einen Faktor von zurück

E_{n}

$E_n$ stattdessen.

Danke schön! Ich verstehe das Beispiel, aber warum ist es das $Ω | ψ ⟩$ $\Omega|\psi\rangle$ ist keine Lösung der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung? könnten Sie bitte eine Referenz angeben?
@ SparshMishra Es gibt keinen Grund zu der Annahme, dass dies eine Lösung wäre. Natürlich, wenn $\Omega$ Und $H$ Pendeln ist eine andere Sache.
@ SparshMishra Ich habe ein bisschen hinzugefügt, damit Sie sehen können, warum es im Allgemeinen nicht funktioniert.

JG · Answer 2

Das Problem ist Gl. (5). Die Lösungen des TDSE enthalten nicht alle Vektoren im Hilbert-Raum. Wenn du schreibst $|\psi\rangle$ als Superposition der Hamilton-Eigenzustände kann man (5) beweisen, sofern die Koeffizienten zeitunabhängig sind, was im Allgemeinen nicht zutrifft.

Mmm_Pasta · Answer 3

Sie haben einen Fehler in (2) und (5). In (2) nehmen Sie die zeitliche Ableitung des Operators, der auf den Zustand ket wirkt. Denken Sie bei dieser Zeitableitung an die Produktregel zur Differenzierung. Am Ende haben Sie die partielle Zeitableitung des Operators und den Operator, der auf die partielle Zeitableitung des Zustands ket wirkt.

Ja, das verstehe ich, aber was ist falsch an der Methode, die ich gepostet habe?

Problem bei der Ableitung des Satzes von Ehrefest

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Mmm_Pasta

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Problem mit dem Beweis des Satzes von Ehrenfest

Ableitung des unitären Zeitentwicklungsoperators

Gilt diese Beziehung für die zeitliche Ableitung eines Operators?

Warum wird die Zeitableitung in der Quantenmechanik nicht als Operator betrachtet? [Duplikat]

Erwartungswert der zeitlichen Ableitung des Operators gegenüber der zeitlichen Ableitung nach dem Operator

Welche Schrödinger-Gleichung ist richtig? [Duplikat]

Gibt es einen Zeitoperator in der Quantenmechanik?

Schrödinger-Gleichung für Wasserstoffatom

Zeitumkehroperator und Rotationen

Ist es eine totale oder eine explizite Zeitableitung in der Schrödinger-Gleichung?