Ist es eine totale oder eine explizite Zeitableitung in der Schrödinger-Gleichung?

Die allgemeinste Schrödinger-Gleichung hat totale Ableitungen

$$i\hbar \frac{d}{dt}|\psi\rangle = \hat H |\psi\rangle$$ weil der Zustandsvektor $|\psi\rangle$hängt nur von einer Variablen ab, $t$. Es ist ein kompliziertes Objekt, das die Wahrscheinlichkeit von irgendetwas im gegebenen Zustand kennt, aber dies ist "innerhalb" des Zustandsvektors verborgen.

Wenn Sie jedoch den Zustandsvektor in einer bestimmten Darstellung umschreiben, z. B. als$\psi(t,x,y,z,X,Y,Z)$für die Wellenfunktion zweier Teilchen, dann die Abhängigkeit von$x,y,z,X,Y,Z$, die Koordinaten zweier Teilchen, wird mit den gleichgestellt$t$-Abhängigkeit, und damit die$t$-Ableitungen müssen partiell geschrieben werden,$\partial/\partial t$, um das zu betonen$x,y,z,X,Y,Z$werden während der Differenzierung festgehalten.

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\psi(t,x,y,z,X,Y,Z) = \hat H \psi(t,x,y,z,X,Y,Z)$$ wobei der Hamiltonoperator Dinge wie die kinetische Energie des ersten Teilchens enthält $$\hat H = \dots -\frac{\hbar^2}{2m} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)+\dots$$ und ähnlich die kinetische Energie des zweiten Teilchens $$\hat H = \dots -\frac{\hbar^2}{2M} \left( \frac{\partial^2}{\partial X^2} + \frac{\partial^2}{\partial Y^2} + \frac{\partial^2}{\partial Z^2} \right)+\dots$$ Beachten Sie, dass es überall partielle Ableitungen gibt, weil $\psi$ist jetzt kein "allgemeiner Zustandsvektor", dessen Informationen kompaktiert sind; es ist eine komplexwertige Funktion vieler Variablen.