Differentielle Realisierungen bestimmter Algebren

Differentialrealisierungen von Algebren sind in der Physik üblich. Hier ist die allgemeine Idee für Lie-Algebren.

Ein wenig Hintergrund.

Denken Sie daran, dass eine Algebra ein Paar ist$(V,[\cdot,\cdot])$Wo$V$ist ein Vektorraum über einem Körper$\mathbb F$Und$[\cdot,\cdot]$ist ein$\mathbb F$-bilineare Abbildung von$V\times V$zu sich selbst. Wir nennen das Mapping$[\cdot, \cdot]$die Halterung . Die Algebra heißt Lügenalgebra , sofern die Klammer die folgenden zwei Eigenschaften für alle erfüllt$x,y,z\in V$:

$$\begin{align} 0&=[x,x] \tag{L1}\\ 0&= [x,[y,z]] + [z,[x,y]]+[y,[z,x]]. \tag{L2} \end{align}$$ Eigentum $(\mathrm{L2})$wird die Jacobi-Identität genannt . Eine lineare Abbildung $\phi$zwischen zwei Lie-Algebren $\mathfrak g$Und $\mathfrak h$heißt Homomorphismus, sofern die Klammer erhalten bleibt, nämlich $$\begin{align} \phi([x,y]_\mathfrak g) = [\phi(x), \phi(y)]_\mathfrak h. \end{align}$$ Eine Darstellung einer Lie-Algebra $\mathfrak g$über ein Feld $\mathbb F$ist ein Homomorphismus $\phi:\mathfrak g\to \mathfrak {gl}(V)$Wo $V$ist ein Vektorraum vorbei $\mathbb F$. Hier $\mathfrak{gl}(V)$bezeichnet die Menge aller linearen Abbildungen aus $V$Zu $V$die eine Lie-Algebra bildet, wenn die Klammer als Kommutator angesehen wird, der durch die Zusammensetzung von Funktionen induziert wird; $[f,g] = f\circ g - g\circ f$.

Darstellungen durch Differentialoperatoren.

In der Physik betrachtet man oft eine Darstellung einer Lie-Algebra$\mathfrak g$die jedes Element der Lügenalgebra auf einen linearen Differentialoperator in einem Vektorraum von Funktionen abbildet. Das tun die Abhandlungen, wenn sie differentielle Beziehungen von Lie-Algebren finden.

Ein Beispiel.

Die dreidimensionale Heisenberg-Algebra , den Physikern auch als harmonische Oszillator-Algebra bekannt , ist ein dreidimensionaler komplexer Vektorraum mit Basis$\{a, a^\dagger, I\}$und eine Klammer, die durch die folgenden Strukturbeziehungen definiert ist:

$$\begin{align} [a,a^\dagger] = I, \qquad [a,I]=0, \qquad [a^\dagger, I]=0. \end{align}$$ Im Allgemeinen sind Strukturbeziehungen einfach Beziehungen, die die Wirkung der Lie-Klammer auf alle unterschiedlichen Paare von Basiselementen spezifizieren. Betrachten Sie nun die lineare Abbildung $\phi:\mathfrak g\to \mathfrak {gl}(L^2(\mathbb R))$gegeben durch seine Wirkung auf $a,a^\dagger, I$folgendermaßen: $$\begin{align} \phi(a) &= \frac{1}{\sqrt{2}}(P - i X), \qquad \phi(a^\dagger) = \frac{1}{\sqrt{2}}(P + i X), \qquad \phi(I) = I \end{align}$$ Wo $P,X,I$sind definiert durch $$\begin{align} (Pf)(x) &= -i\frac{df}{dx}(x), \qquad (Xf)(x) = xf(x), \qquad (If)(x) = f(x) \end{align}$$ Man kann zeigen (probieren Sie es aus!), dass diese Abbildung ein Lie-Algebra-Homomorphismus ist, also eine Darstellung der harmonischen Oszillator-Algebra durch Differentialoperatoren auf dem Vektorraum quadratisch integrierbarer, komplexwertiger Funktionen auf der reellen Geraden.

Wie man solche Darstellungen findet.

Ich bin mir nicht sicher, wie man die Darstellung entdeckt haben könnte$\phi$oben für die harmonische Oszillatoralgebra, aber eine übliche Art, solche Darstellungen von Lie-Algebren zu erzeugen, besteht darin, eine Riemannsche oder Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit zu bestimmen$(M,g)$dessen Algebra der Killing-Vektoren die Algebra ist, nach der Sie suchen. Die Killing-Vektoren geben dann die gewünschte Darstellung in Form von Differentialoperatoren, die auf den Vektorraum von Skalarfunktionen auf der Mannigfaltigkeit wirken, vorausgesetzt, Sie können die Killing-Gleichung lösen.

Angenommen, wir möchten eine Darstellung von bestimmen$\mathfrak{so}(3)$in Bezug auf Differentialoperatoren. Wir betrachten die Riemannsche Mannigfaltigkeit$S^2$. Es ist die Algebra des Tötens von Vektoren$\mathfrak{so}(3)$, die Lie-Algebra der dreidimensionalen Rotationsgruppe. Was sind die Tötungsvektoren? Nun, in sphärischen Koordinaten ist die Metrik

$$\begin{align} ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2 \end{align}$$ und in diesen Koordinaten erhält man die folgenden Tötungsvektoren: $$\begin{align} R &= \partial_\phi \\ S &= \cos\phi\partial_\theta - \cot\theta \sin\phi\partial_\phi \\ T &= -\sin\phi\partial_\theta - \cot\theta \cos\phi\partial_\phi \end{align}$$ was, wie Sie überprüfen können, indem Sie Kommutatoren nehmen, die gewünschte Darstellung von ergibt $\mathfrak {so}(3)$als Differentialoperatoren, die auf den Vektorraum von Skalarfunktionen einwirken $S^2$.