Gilt diese Beziehung für die zeitliche Ableitung eines Operators?

Die Ableitung für das Ehrenfest-Theorem, die ich gesehen habe, verwendet die Kettenregel$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$drei Begriffe geben:$(\frac{d}{dt}\langle\psi|)\hat{A}|\psi\rangle + \langle\psi|\frac{\partial\hat{A}}{\partial t}|\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}(\frac{d}{dt}|\psi\rangle)$Unter diesen enthält der mittlere eine Ableitung des Operators$\hat{A}$.

Nach der Verwendung des TDSE erhalten wir schließlich:

$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{A},\hat{H}]\rangle+\langle\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle \tag{0}$

Aufgrund meines Mangels an Intuition, was die Ableitung eines Operators bedeutet, habe ich versucht, stattdessen die Kettenregel wie folgt anzuwenden:

$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}\psi\rangle = (\frac{d}{dt}\langle\psi|)\hat{A}\psi\rangle + \langle\psi|\frac{d}{dt}(\hat{A}|\psi\rangle) \tag{1}$

Nun, wenn$\frac{d}{dt}$nur ein weiterer Operator ist, sollte Folgendes gelten:

$\frac{d}{dt}\hat{A} = [\frac{d}{dt},\hat{A}]+\hat{A}\frac{d}{dt} \tag{2}$

Deshalb:

$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}\psi\rangle = (\frac{d}{dt}\langle\psi|)\hat{A}\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}\frac{d}{dt}|\psi\rangle + \langle\psi|[\frac{d}{dt},\hat{A}]|\psi\rangle \tag{3}$

Unter Verwendung des TDSE können der erste und der zweite Term nun wie folgt geschrieben werden:

$(\frac{d}{dt}\langle\psi|)\hat{A}\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}\frac{d}{dt}|\psi\rangle = \langle\psi|\frac{-\hat{H}}{i\hbar}\hat{A}|\psi\rangle + \langle\psi|\hat{A}\frac{\hat{H}}{i\hbar}|\psi\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle\psi|[\hat{A},\hat{H}]|\psi\rangle \tag{4}$

Daher:

$\frac{d}{dt}\langle\psi|\hat{A}\psi\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle\psi|[\hat{A},\hat{H}]|\psi\rangle + \langle\psi|[\frac{d}{dt},\hat{A}]|\psi\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle[\hat{A},\hat{H}]\rangle + \langle[\frac{d}{dt},\hat{A}]\rangle \tag{5}$

Nun, wenn das Ehrenfest-Theorem gilt und meine Ableitung richtig ist, scheint dies darauf hinzudeuten$\langle\frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\rangle = \langle[\frac{d}{dt},\hat{A}]\rangle$

Ist diese Relation korrekt? Kann ich allgemein die Zeitableitung eines Operators in Bezug auf seinen Kommutator verstehen?$\frac{d}{dt}$?