Wirken Ableitungen von Operatoren auf den Operator selbst oder werden sie „an den Schwanz“ von Operatoren angehängt?

Wie funktionieren Ableitungen von Operatoren? Handeln sie nach den Bedingungen in der Ableitung oder werden sie einfach "an den Schwanz angehängt"? Gibt es einen konzeptionellen Weg, dies zu verstehen?

Zum Beispiel: Angenommen, Sie hatten den Operator X ^ = x . Möchten d d x X ^ sein 1 oder d d x x ? Der Unterschied, wenn man den Erwartungswert nimmt, wäre der Integrand ψ ∗ ψ oder ψ ∗ ( ψ + x d ψ d x ) ?

Meine spezielle Frage betrifft den Bandeffekt in Festkörpern. Um das System besser zu verstehen, haben wir den Satz von Bloch verwendet, um die Wellenfunktion in der Form auszudrücken ψ = e ich K x u K ( x ) wo u K ( x ) ist eine periodische Funktion. Damit, dass ψ die Schrödinger-Gleichung löst, konnten wir daraus einen "effektiven Hamilton-Operator" ableiten u K ist eine Eigenfunktion von H K = − ℏ 2 2 m ( d d x + ich K ) 2 + v . Mein nächstes Problem ist zu finden ⟨ d H z d K ⟩ , was zu dieser Frage geführt hat.

Einige meiner Überlegungen: Ein Operator ist eine Funktion für Funktionen, also können wir ihn wie alle anderen Funktionen schreiben f ( g ( x ) ) . Wenn Sie die Ableitung dieser Funktion bilden, erhalten Sie f ' ( g ( x ) ) ∗ g ' ( x ) . Wenn man sich also den Operator ansieht, X ^ , können wir sagen, dass es sich um eine Funktion handelt ψ ( x ) , X ^ ( ψ ) = x ψ . Die Ableitung ergibt also:

d X ^ d x = ψ + x d ψ d x
aber das könnte man auch sagen X ^ = x (keine Funktion), also
d X ^ d x = d d x x = 1
Jetzt bin ich geneigt, das zu sagen X ^ ist eine Funktion, aber es scheint, als wäre es für diese Frage besser, sie einfach als Konstante zu behandeln und (meiner Meinung nach) naiv ihre Ableitung zu nehmen. Also wie mache ich das?

Antworten (2)

Wenn wir verschiedene Feinheiten in Bezug auf Operatoren auslassen, scheint der Kern der Frage von OP (v4) auf Folgendes hinauszulaufen.

Was ist damit gemeint

(0) d d x f ( x ) ?
Meinen wir die Ableitung
(1) f ' ( x ) ,
oder meinen wir den Differentialoperator erster Ordnung, der in normal geordnet umgeschrieben werden kann 1 bilden als
(2) f ' ( x ) + f ( x ) d d x ?

Die Antwort lautet: Es kommt auf den Kontext an. Unterschiedliche Autoren meinen unterschiedliche Dinge. Man müsste die Definitionen des Autors sorgfältig nachvollziehen, um es sicher zu wissen. Wenn es jedoch so geschrieben ist d f ( x ) d x stattdessen bedeutet es immer f ' ( x ) , oder gleichwertig, [ d d x , f ( x ) ] .

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1 Ein Differentialoperator ist per Definition normalgeordnet , wenn alle Ableitungen in jedem Term nach rechts geordnet sind.

Als Faustregel gilt, dass man jede Funktion nach ihrem Argument differenzieren kann.

In Ihrem zweiten Beispiel, dem Hamiltonian

H K = − ℏ 2 2 m ( d d x + ich K ) 2 + v
ist eine Funktion von K : für jede reelle K , erhalten Sie einen Differentialoperator H K . So können Sie (natürlich vorausgesetzt, alles ist schön regelmäßig und differenzierbar) differenzieren H K in Gedenken an K . In Fällen wie diesen ist die Differenzierung wirklich edel: Die Kettenregel und die Produktregel gelten normalerweise, und sogar die meisten Vektorrechnungen bleiben anwendbar. Sie müssen natürlich vorsichtig sein, wenn nichtkommutierende Observablen vorhanden sind: zum Beispiel while d d t e t EIN ^ = EIN ^ e t EIN ^ ist wahr, d d t e B ^ + t EIN ^ muss mit etwas Sorgfalt behandelt werden, wenn [ EIN ^ , B ^ ] ≠ 0 .

Ihr erstes Beispiel hingegen fliegt nicht ganz. X = x ^ ist ein Operator, der von keinem Parameter abhängt; daher kann man es nicht unterscheiden und d X d x ist bedeutungslos. Beachten Sie jedoch, dass Objekte wie ⟨ x | ψ ⟩ sind Funktionen von x und kann daher in Bezug auf differenziert werden x . So könnten z. ⟨ x | x ^ | ψ ⟩ , aber nur wegen der Abhängigkeit des BHs selbst vom Parameter x . Sie können den BH auch unterscheiden:

− ich d d x ⟨ x | = ⟨ x | p ^ .
Aber x ^ selbst können Sie jedoch nicht.

Nicht X ^ darauf ankommen x ? Also, wenn Sie die Ableitung in Bezug auf nehmen x , es sollte etwas bedeuten?
Nein. x ^ : H → H ist nur ein Operator und umfasst gewissermaßen alle x ∈ R . Der Punkt ist, dass es einen BH gibt ⟨ x | pro reeller Zahl x , was nicht der Fall ist x ^ .
Wirken Ableitungen von Operatoren auf den Operator selbst oder werden sie „an den Schwanz“ von Operatoren angehängt?
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