Problem bei der Ableitung des Satzes von Ehrenfest

Wir arbeiten im Schrödinger-Bild, während wir Ehrenfests Theorem ableiten, gehen wir -

D D T ⟨ A ⟩ = D D T ⟨ ψ | A ^ | ψ ⟩
A ist ein Operator. Erweitern RHS-
D D T ⟨ A ⟩ = ⟨ D D T ψ | A ^ | ψ ⟩ + ⟨ ψ | ∂ ∂ T A ^ | ψ ⟩ + ⟨ ψ | A ^ | D D T ψ ⟩
Meine Zweifel beziehen sich auf die zweite Amtszeit. Warum schreiben wir ∂ ∂ T A ^ und nicht D D T A ? Diese Schreibweise spielt natürlich keine Rolle, falls es nur eine explizite Abhängigkeit von gibt T , falls es welche gibt T Abhängigkeit überhaupt.

Was ist, wenn A wurden aus anderen zeitabhängigen Operatoren zusammengesetzt Ö ^ ( T ) , dh A ^ ( T ) = A ( Ö ^ ( T ) , T ) . Können wir solche Operatoren haben? In diesem Fall ∂ ∂ T A ^ ≠ D D T A .

Antworten (2)

Bei der Herleitung des Ehrenfest-Theorems im Heisenberg-Bild ist der Operator A kann zwei verschiedene Arten von Zeitabhängigkeit haben. Eine "inhärente" (oder explizite) Zeitabhängigkeit (in Rot) und die aufgrund der Zeitentwicklung (Verschiebung vom Schrödinger-Bild):

A H ( T ) = e + ich H T / ℏ A ( T ) e − ich H T / ℏ .
In diesem Fall muss man betonen, dass die Ableitung im Satz von Ehrenfest bezüglich der inhärenten Zeitabhängigkeit gilt. Um Verwirrung zu vermeiden, würde/sollte man schreiben:
D D T ⟨ A H ( T ) ⟩ = ich ℏ [ H H , A H ] + ( ∂ ∂ T A ( T ) ) H .
Aber etwas schlampig könntest du auch schreiben ∂ ∂ T A H ( T ) und gemein ( ∂ ∂ T A ( T ) ) H . Diese Notation wird in Ihrem Fall übernommen, obwohl sie im Schrödinger-Bild nicht unbedingt benötigt wird.

Was wäre, wenn A aus anderen zeitabhängigen Operatoren zusammengesetzt wäre Ö ^ ( T ) , dh A ^ ( T ) = A ( Ö ^ ( T ) , T ) . Können wir solche Operatoren haben?

Im QM arbeitet man in der Regel mit einer begrenzten Anzahl unterschiedlicher Operatoren, die im Schrödinger-Bild alle zeitunabhängig sind. Um eine explizite Zeitabhängigkeit zu erhalten, müssen Sie wirklich a hinzufügen T dort .
Der ∂ ist ausschließlich für diesen Fall gedacht und nicht (wie in anderem Kontext) für Funktionen wie F ( G ( T ) , T ) .

Ein gängiges Beispiel ist der Hamiltonoperator eines Spinteilchens in einem Magnetfeld. Wenn das Feld oszilliert (d. h. B ( T ) = B 0 Sünde ⁡ T ), dann ist der Hamiltonoperator explizit zeitabhängig: H ^ ∝ B ( T ) S ^ z = B 0 Sünde ⁡ T   S ^ z , Wo S ^ z ist der Spinoperator.

Danke für deine Antwort. Kennen Sie ein Beispiel für einen Operator, der eine „implizite“ Zeitabhängigkeit hat?
Nicht, dass ich davon Wüste. Ich habe die Antwort bearbeitet, um das Beispiel ein wenig zu verdeutlichen. Die explizite Zeitabhängigkeit bedeutet normalerweise, dass das System nicht geschlossen ist, sondern dass es eine externe Ursache für die Änderung gibt (wie jemand, der ein Magnetfeld einschaltet). Eine „implizite“ Zeitabhängigkeit eines Schrödinger-Operators würde implizieren, dass auch in einem geschlossenen System die Messung zeitabhängig ist. Oder anders ausgedrückt, dass die Physik von morgen eine andere ist als die Physik von heute.

Wir verwenden die partielle Ableitung, weil andere Variablen im Spiel sind – wie z X Und P , die beide zeitabhängig sein können. Das partielle Ableitungssymbol wird verwendet, weil es impliziert, dass wir alle anderen Variablen festhalten, wenn wir variieren T .

Verwendung der " D "Ableitung würde das implizieren

D D T F ( X ( T ) , P ( T ) , T ) = ∂ F ∂ T + X ˙ ∂ F ∂ X + P ˙ ∂ F ∂ P .

Dies ist die übliche Definition in der klassischen Mechanik, aber ich denke, es geht hier am Punkt vorbei. Auf dem Schrödinger-Bild X ^ Und P ^ sind beide zeitunabhängig. Andererseits jede beobachtbare A kann von anderen Operatoren als abhängen X ^ Und P ^ (zB die Pauli-Matrizen). Selten sieht man eine Gleichung so, wie man sie in der Quantenmechanik geschrieben hat. Stattdessen würden Sie die Heisenberg-Gleichungen sehen.
@Creme. Ich stimme im Prinzip zu, aber ich denke immer noch, dass die teilweise bessere Übung ist.
Ich stimme zu, dass die Verwendung des Teils hier (in dieser Frage) "gute Praxis" ist. Aber ich denke, dass man es aus einem anderen Grund verwenden sollte als Sie.
Problem bei der Ableitung des Satzes von Ehrenfest
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