Gewöhnliche vs. partielle Ableitungen von Kets und Observablen im Dirac-Formalismus

Die Verwendung von totalen und partiellen Ableitungen in der Physik ist nicht immer sehr streng oder konsequent. Manchmal schreiben Autoren nur$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$wenn sie betonen wollen, dass es eine implizite Zeitabhängigkeit gibt, die in die Ableitung einzubeziehen ist, und darauf verzichten$\frac{\partial}{\partial t}$ansonsten. Manchmal schreiben Autoren nur$\frac{\partial}{\partial t}$wenn sie betonen wollen, dass es eine implizite Zeitabhängigkeit gibt, die in der Ableitung ignoriert werden soll, und standardmäßig darauf verzichten$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$ansonsten. Manchmal schreiben Autoren einfach$\partial_t$denn es ist weniger Aufwand als$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}$. Manchmal ist es den Autoren egal und sie gehen einfach nach Bauchgefühl.

Ich gehe mal auf deine konkreten Fragen ein:

• In der Schrödinger-Gleichung$H|\psi(t)\rangle = \mathrm i\hbar \partial_t |\psi(t)\rangle = \mathrm i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} |\psi(t)\rangle$weil die funktion$|\psi(t)\rangle$hängt ohnehin nicht von anderen Parametern ab. (Aus meiner Erfahrung schreiben die meisten Leute hier eine partielle Ableitung, aber beide Wege sind richtig.)

• In Ihrem Beispiel von Sakurai möchten sie das vielleicht betonen$\alpha$Und$t_0$nicht von der Zeit abhängen.

• Zu den Operatoren: In meiner (zweiten) Ausgabe von Sakurai steht auf der linken Seite eine totale Ableitung. Und das sollte es geben, weil wir die implizite Zeitabhängigkeit, die von den Propagatoren kommt, und die mögliche explizite Zeitabhängigkeit von unterscheiden wollen$A_S$. Dies wird manchmal geschrieben als

  $$\frac{\mathrm d A_H}{\mathrm dt} = \frac{\mathrm i}{\hbar} [H, A_H] + \frac{\partial A_H}{\partial t} .$$ Bearbeitet, um hinzuzufügen: Die Leute schreiben es gerne so, weil es die Analogie zur kanonischen Mechanik zeigt . Dort ist die Unterscheidung zwischen totalen und partiellen Ableitungen ziemlich klar.

• Beachten Sie das schließlich für den Bediener$A_S$im Schrödinger-Bild gibt es keine implizite Zeitabhängigkeit. Es spielt also keine Rolle, ob Sie eine totale oder partielle Ableitung schreiben.

Die Frage wurde positiv bewertet, da es sich um eine physikalische Frage handelt, die sich sehr gut für eine rein mathematische Antwort eignet. Welches ist:

Die richtige Notation für die in der generischen/abstrakten Schrödinger-Gleichung zu verwendende Zeitableitung ist die vollständige Ableitung, d. h$\frac d {dt}$, unabhängig davon, ob man die (mathematisch anspruchsvolle) Bra/Ket-Notation verwendet, oder ob man die traditionelle Physiker-Notation von Schrödinger-Wellenfunktionen verwendet. Die partielle Ableitung kann jedoch unter bestimmten mathematischen Annahmen, die unten verlinkt sind, verwendet werden.

Erläuterung : Der Hamiltonoperator im sogenannten Schrödinger-Bild ist eine echte Operatorwertabbildung des Hilbert-Raums$\mathbb R \ni t\mapsto H (t)\equiv H \in \mathcal L(\mathcal H),\forall t, H = H^\dagger$. Die Schrödinger-Zustände (Zustandsrepräsentanten) sind echte Hilbert-Raumvektor-wertige Abbildungen (sogenannte Quantentrajektorien ).$\mathbb R \ni t\mapsto \psi (t)\in \mathcal H$, stark stetig im reellen Parameter$t$Zeit genannt . Daher ist es eine Annahme (Axiom von QM), dass die Abbildung

Man könnte nun durch eine Projektion in den Hilbertraum fragen, ob der Hamiltonoperator eine Funktion der Fundamentaloperatoren x,p (in einer Dimension) ist$L^2 (\mathbb{R})$, könnte also als eine komplexe Funktion mit mehreren Variablen angesehen werden$H = H(x,p,t)$, kann man die Schrödinger-Gleichung mit partiellen Ableitungen in der Form aufschreiben:

mit anderen Worten, was wäre der Zusammenhang mit der obigen strengen Formulierung? Valter Moretti zeigte hier die zeitliche Ableitung des Zustandsvektors, ausgedrückt im abstrakten Hilbertraum vs. als Wellenfunktion , unter welchen genauen mathematischen Annahmen die$\frac{d}{dt}$oben durch die starke Grenze definiert, kann in transformiert werden$\frac{\partial}{\partial t}$.