Welche Schrödinger-Gleichung ist richtig? [Duplikat]

Ihre zweite und dritte Gleichung sind die gleiche Gleichung. Sie verwenden nur eine andere Notation für die Zeitableitung. Denn in dieser "abstrakten" Form$|\Psi \rangle$hängt nur von der Zeit ab, vielleicht ist es richtiger, den letzten zu verwenden, aber das ist Geschmackssache.

Um Ihre erste Gleichung (eine Wellengleichung) zu erhalten, müssen Sie weiter projizieren$\langle x|$:

$$H(P=-i\hbar \partial _x , X=x)\Psi (x,t)=i\hbar \partial _t \Psi (x,t)$$

In diesem Fall$\partial _t$(statt$\frac{d}{dt}$) ist eine bessere Notation, weil jetzt$\Psi$hängt auch von der Koordinate ab$x$.

Zu Nick Kidmans Kommentar:

i) Im abstrakten SE der Hamiltonoperator$H$ist eine Funktion von "abstrakten" Operatoren$H=H(P, X)$(Großbuchstaben beziehen sich auf Operatoren).

ii) Man hat die kanonischen Vertauschungsrelationen$[X,P]=i\hbar$. Eine Realisierung oder Darstellung dieser Vertauschungsrelation in einem (bestimmten) Raum von Funktionen$f(x)$(Kleinschreibung$x$ist eine Koordinate statt ein Operator)$X\,f(x)=x\,f(x)$Und$Pf(x)=-i\hbar\partial _x \,f(x)$seit$[x,-i\hbar\partial _x]f(x)=i\hbar f(x)$. (Man kann beweisen, dass dies die einzige Darstellung der Kommutierungsrelation Modulo-Unitaritätsäquivalenz in einem endlichdimensionalen System ist. In QFT hat man wirklich unterschiedliche Darstellungen.) Daher$P|x\rangle =-i\hbar\partial _x \,|x\rangle$Und$X|x\rangle =x \,|x\rangle$

iii) Definitionsgemäß$\Psi (x)\equiv \langle x|\Psi \rangle$.

I) Lassen Sie uns die Frage von OP neu formulieren als:

Welches Zeitdifferenzierungssymbol sollte man auf der rechten Seite der zeitabhängigen Ket-Schrödinger-Gleichung verwenden?

Antworten:

Was auch immer das Symbol bedeutet

$$\lim_{\Delta t \to 0} \frac{|\Psi(t+\Delta t )\rangle_S-|\Psi(t) \rangle_S }{\Delta t}.$$

Anscheinend funktionieren also beide OP-Vorschläge. Hier der Index "$S$" (Und "$H$") bezeichnet das Schrödinger (Heisenberg)-Bild, in dem sich Bras und Kets entwickeln (unverändert bleiben) und Operatoren unverändert bleiben (sich entwickeln).

II) Erwähnen wir der Vollständigkeit halber, dass im Heisenberg-Bild:

1. $$|\Psi \rangle_H\quad \text{does not evolve in time}.$$

2. $${}_H\langle x,t |\quad \text{does not evolve in time}.$$

3. $$\psi (x,t) ~=~ {}_H\langle x,t |\Psi \rangle_H.$$

4. $$\begin{align} {}_H\langle x,t |\hat{x}(t)~=~& x ~{}_H\langle x,t | \cr~\Updownarrow~&\cr {}_H\langle x,t |\hat{x}(t)|\Psi \rangle_H ~=~& x \psi (x,t). \end{align}$$

5. $$\begin{align}{}_H\langle x,t |\hat{p}(t) ~=~& \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} ~{}_H\langle x,t |, \cr~\Updownarrow~&\cr {}_H\langle x,t |\hat{p}(t)|\Psi \rangle_H ~=~& \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \psi (x,t).\end{align}$$

6. $$\begin{align} i\hbar\frac{\partial}{\partial t} {}_H\langle x,t | ~=~&{}_H\langle x,t |\hat{H}(t) \cr~\Updownarrow~&\cr i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi (x,t) ~=~&{}_H\langle x,t |\hat{H}(t) |\Psi \rangle_H\cr ~=~&(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x))\psi (x,t) .\end{align}$$

Für eine vollständige Erklärung siehe zB JJ Sakurai, Modern Quantum Mechanics.

Alle deine Gleichungen sind richtig.

$$H\Psi(x,t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t)$$

sagt, dass wir nach der Zeit differenzieren werden, wobei x konstant bleibt.

$$H|\Psi\rangle = i\hbar\frac{d}{dt}|\Psi\rangle$$

sagt, dass wir nach der Zeit differenzieren, und außerdem ist dies alles der Zustandsvektor$|\Psi\rangle$kommt darauf an.

$$H|\Psi\rangle = i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\Psi\rangle$$

hat den gleichen Inhalt wie die zweite Gleichung, es ist nur so, dass wir beim Schreiben einer partiellen Ableitung nicht aufpassen müssen, da es keine anderen Variablen gibt$|\Psi\rangle$Abgesehen von der Zeit sowieso, reicht also entweder eine partielle oder eine totale Ableitung aus.

Wir differenzieren also in allen 3 Gleichungen bzgl. der gleichen Zeitabhängigkeit, nur müssen wir manchmal aufpassen, ob es andere Variablen gibt oder nicht.

Erinnere dich einfach daran, was das geschweifte d bedeutet. Es bezeichnet nur eine partielle Ableitung, also ist es 1D und die Funktion ist nur von t abhängig, dann ist es:

$$\frac{df(t)}{dt}$$

In allen Fällen, in denen die Funktion von mehr als einer Variablen abhängt (z. B. x und t), müssen Sie das geschweifte d verwenden, um anzuzeigen, dass Sie eine partielle Ableitung durchführen.